Egzanp Kesyon ak Diskisyon sou Lwa Gauss la

Egzanp Kesyon ak Diskisyon sou Lwa Gauss la

Lwa Gauss la se yon poto kle nan elektwomayetis. Li bay yon fason efikas pou kalkile chan elektrik ki pwodui pa yon distribisyon chaj elektrik. Nan atik sa a, nou pral diskite plizyè pwoblèm egzanp epi diskite aplikasyon Lwa Gauss la nan divès senaryo.

Konsèp debaz Lwa Gauss la

Anvan nou kòmanse ak pwoblèm egzanp yo, an nou revize konsèp debaz Lwa Gauss la. Lwa Gauss la deklare ke flux elektrik total \( \Phi_E \) ki soti nan yon sifas fèmen pwopòsyonèl ak chaj total \( q_{in} \) ki antoure pa sifas la. Matematikman, Lwa Gauss la eksprime jan sa a:

\[ \Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]

Ki kote:

– \( \Phi_E \) se flux elektrik la.
– \( \mathbf{E} \) se chan elektrik la.
– \( \mathbf{A} \) se vektè sifas la.
– \( q_{in} \) se chaj ki andedan sifas fèmen an.
– \( \epsilon_0 \) se pèmitivite vid la (\( \epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2) \)).

Egzanp Kesyon 1: Chan elektrik nan yon esfè kondiktè kre

Kesyon:
Ou gen yon esfè kondiktè kre ak yon reyon ekstèn \(R\) ak yon chaj total \(Q\). Detèmine chan elektrik ki anndan kondiktè kre a.

Diskisyon:
– Detèminasyon Sifas Gausyen an:
Ann sipoze nou chwazi yon sifas esferik konsantrik Gaussyen ak yon reyon \( r \) andedan yon kavite kondiktè (kote \( r < R \)). - Kalkil Flux ak Chaj: Piske enteryè esfè kondiktè a se yon kavite vid, chaj ki andedan sifas Gaussyen an se zewo (\( q_{in} = 0 \)). - Aplikasyon Lwa Gauss la: Selon Lwa Gauss la: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]

Piske \( q_{in} = 0 \), alò flux elektrik la tou zewo: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = 0 \] - Konklizyon: Piske flux elektrik la zewo, sa vle di ke chan elektrik \( \mathbf{E} \) nan chak pwen andedan kavite a tou zewo. Kidonk, chan elektrik andedan kavite kondiktè a se \( 0 \, \text{N/C} \). Pwoblèm Egzanp 2: Chan elektrik pa yon plak enfini Pwoblèm: Kalkile chan elektrik la toupre yon plak metal enfini ki gen yon dansite chaj sifas \( \sigma \). Solisyon: - Detèminasyon sifas Gaussyen an: Chwazi yon sifas Gaussyen silendrik ki gen fòm "bwat grenn Gaussyen" ak sifas anwo ak anba plak la, chak ak yon sifas \( A \). - Kalkil Flux ak Chaj: Total flux elektrik ki soti nan tou de bout sifas la se: \[ \Phi_E = 2EA \] kote \( E \) se chan elektrik la sou tou de bò plak la. Chaj total \( q_{in} \) ki antoure pa sifas Gaussyen an se: \[ q_{in} = \sigma \cdot A \] - Aplikasyon Lwa Gauss la: Dapre Lwa Gauss la: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \] Kidonk: \[ 2EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_0} \] Lè nou senplifye: \[ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \] - Konklizyon: Chan elektrik toupre yon plak metal enfini se: \[ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \, \text{(N/C)} \] Egzanp Pwoblèm 3: Chan elektrik otou yon chaj ponktyèl Pwoblèm: Kalkile chan elektrik kouran elektrik la a yon distans \( r \) soti nan yon chaj ponktyèl \( q \). Diskisyon: - Detèminasyon Sifas Gausyen an: Chwazi yon sifas Gausyen esferik ak yon reyon \( r \) apati chaj pwen \( q \) a. - Kalkil Flux ak Chaj: Flux elektrik total ki soti nan sifas Gausyen an se: \[ \Phi_E = E \cdot 4\pi r^2 \] Chaj total \( q_{in} \) ki antoure pa sifas Gausyen an se chaj pwen \( q \) a. - Aplikasyon Lwa Gauss la: Selon lwa Gauss la: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \] Kidonk: \[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0} \] Lè nou senplifye: \[ E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \] - Konklizyon: Chan elektrik la a yon distans \( r \) de yon chaj ponktyèl \( q \) se: \[ E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \, \text{(N/C)} \] Kesyon Egzanp 4: Chan elektrik Anndan ak Deyò yon Esfè ki Genyen yon Chaj Inifòm Kesyon: Yon esfè solid ak yon reyon \( R \) gen yon chaj total \( Q \) ki distribye inifòmman. Kalkile chan elektrik la nan yon pwen andedan esfè a (\( r < R \)) ak deyò esfè a (\( r > R \)).

Diskisyon:

Pou \( r < R \): - Detèminasyon Sifas Gaussyen an: Chwazi yon sifas Gaussyen esferik ki gen yon reyon \( r \) andedan esfè solid la. - Kalkil Chaj la: Piske chaj la distribye inifòmman, chaj ki nan reyon \( r \) a se: \[ q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \] kote \( \rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \). \[ q_{in} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right) \] - Aplikasyon Lwa Gauss la: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \] Kidonk: \[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right)}{\epsilon_0} \] Lè nou senplifye: \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] Kidonk, chan elektrik ki andedan esfè a (\( r < R \)) se: \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] Pou \(r > R \):

– Detèminasyon Sifas Gausyen an:
Chwazi yon sifas Gaussyen esferik ak yon reyon \(r\) deyò esfè solid la.

– Kalkil chaj:
Chaj total ki nan yon sifas Gaussienne se chaj total esfè a \(Q\).

– Aplikasyon Lwa Gauss la:

\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]

Konsa:

\[
E ∫4π r^2 = ∫Q}{∫epsilon_0
\]

Lè nou senplifye:

\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]

Kidonk, chan elektrik deyò esfè a (\( r > R \)) se:

\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]

Konklizyon

Lwa Gauss la bay yon zouti pwisan pou analize chan elektrik nan yon pakèt sitiyasyon. Lè nou chwazi yon sifas Gaussyen ki apwopriye epi aplike prensip debaz li yo, nou ka kalkile distribisyon chan elektrik yo pi efikasman. Atravè egzanp ki anwo yo, nou te wè aplikasyon lwa Gauss la nan sitiyasyon tankou chan elektrik nan yon esfè kondiktè, yon plak metal enfini, yon chaj ponktyèl, ak yon esfè ki gen yon chaj inifòm. Konpreyansyon ak pratik konsistan ap asire yon aplikasyon solid nan lwa Gauss la nan divès aplikasyon elektwomayetis.