Kako izračunati kvartile, decile i percentile u statističkim podacima
U statistici često moramo odrediti položaj vrijednosti unutar skupa podataka. Samo izračunavanje srednje vrijednosti ili medijana nije dovoljno, jer te mjere ne opisuju kako su podaci distribuirani i kako se opažanje uspoređuje s drugima. Tu na scenu stupaju kvartili, decili i percentili. Ove tri su pozicijske mjere koje dijele sortirane podatke na jednake dijelove. Ovaj članak raspravlja o definicijama, općim koracima i načinu izračuna kvartila, decila i percentila za pojedinačne i grupirane skupove podataka.
-
1. Osnovni koncept: Podaci moraju biti sortirani
Prije izračuna kvartila, decila ili percentila, najvažniji korak je sortiranje podataka od najmanjeg do najvećeg. Nakon što su podaci sortirani, možemo odrediti lokaciju kvartila, decila ili percentila na temelju njihovih indeksnih pozicija.
Općenito:
– Kvartili dijele podatke na 4 dijela.
– Decili dijele podatke na 10 dijelova.
– Percentili dijele podatke na 100 dijelova.
U praksi se kvartili, decili i percentili obično koriste za analizu rezultata testova, podataka o prihodima, antropometrijskih mjerenja (visina/težina) i ocjenjivanje učinka.
-
2. Kako izračunati kvartile (Q1, Q2, Q3)
A. Kvartili u pojedinačnim podacima (negrupirani)
Kvartili se sastoje od:
– Q1: donji kvartil (25% podataka je ispod njega)
– Q2: medijan (50%)
– Q3: gornji kvartil (75%)
Koraci za izračun pojedinačnih kvartila podataka:
1. Sortirajte podatke.
2. Izračunajte poziciju kvartila koristeći formulu pozicije:
– Položaj Q1 = \((n+1)/4\)
– Položaj Q2 = \(2(n+1)/4\) ili \((n+1)/2\)
– Položaj Q3 = \(3(n+1)/4\)
Ako je pozicija cijeli broj, uzmite vrijednost na toj poziciji. Ako je pozicija razlomak, interpolirajte (uzmite vrijednost između dvije najbliže podatkovne točke).
Brzi primjer:
Sortirani podaci: 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 8)
Pozicija Q1 = (8+1)/4 = 2,25 → nalazi se između 2. i 3. podatka.
Dakle, Q1 je između 6 i 7. Interpolacija:
Q1 = 6 + 0,25(7−6) = 6,25.
-
B. Kvartili u grupiranim podacima (raspodjela frekvencija)
Za grupirane podatke (npr. intervale klasa), kvartili se izračunavaju pomoću formule:
\[
Q_k = L + (((k4n – F)f) x c
\]
Informacija:
– \(Q_k\): k-ti kvartil (k = 1,2,3)
– \(L\): donji rub kvartilne klase
– \(n\): broj podataka (ukupna frekvencija)
– \(F\): kumulativna frekvencija prije kvartilne klase
– \(f\): frekvencija u kvartilnoj klasi
– \(c\): duljina razreda
Opći koraci:
1. Stvorite kumulativnu frekvenciju.
2. Odredite položaj kvartila: \(k/4 \puta n\).
3. Pronađite klasu koja sadrži tu poziciju.
4. Unesite u formulu.
-
3. Kako izračunati decile (D1 do D9)
Decili dijele podatke na 10 dijelova, tako da:
– \(D_1\) označava donju granicu od 10% podataka,
– \(D_5\) je jednak medijanu,
– \(D_9\) označava ograničenje od 90% podataka.
A. Decili u pojedinačnim podacima
Formula decilne pozicije:
\[
\text{Pozicija} D_k = \frac{k(n+1)}{10}
\]
s \(k = 1,2,\točke,9\).
Nakon što se dobije pozicija, metoda za uzimanje vrijednosti je ista kao i za kvartil: ako je cijeli, uzima se izravno, ako je razlomak, interpolira se.
-
B. Decili u grupiranim podacima
Decilna formula za grupirane podatke:
\[
D_k = L + ((k10n – F)f) x c
\]
Opis je isti kao i kvartil, samo što je djelitelj 10.
Korak:
1. Izračunajte \(k/10 \puta n\).
2. Odredite decilnu klasu na temelju kumulativne frekvencije.
3. Zamijenite u formulu.
Decili se često koriste u ekonomskoj analizi, na primjer dijeljenjem dohotka ljudi u 10 skupina (decil 1 je najsiromašniji, a decil 10 najbogatiji).
-
4. Kako izračunati percentile (P1 do P99)
Percentili su detaljniji jer podatke dijele na 100 dijelova. Vrijednost P25 = Q1, P50 = medijan, a P75 = Q3. To znači da su kvartili zapravo poseban slučaj percentila.
A. Percentili na pojedinačnim podacima
Formula percentilnog položaja:
\[
\text{Pozicija} P_k = \frac{k(n+1)}{100}
\]
s \(k = 1,2,\točke,99\).
Postupak je isti: sortirati podatke, izračunati poziciju, zatim uzeti vrijednost ili interpolirati.
-
B. Percentili u grupiranim podacima
Formula za percentil grupiranih podataka:
\[
P_k = L + ((k100n – F)f) x c
\]
Koraci su identični kao i za decile/kvartile:
1. Odredite položaj \(k/100 \puta n\).
2. Pronađite percentilnu klasu kumulativne frekvencije.
3. Upotrijebite formulu.
Percentili se često koriste u akademskim i zdravstvenim procjenama. Na primjer, visina djeteta na 80. percentilu znači da je dijete više od 80% djece njegove ili njezine dobi.
-
5. Važni savjeti i uobičajene pogreške
1. Podaci moraju biti sortirani (posebno za pojedinačne podatke). Bez sortiranja, kvartili/decili/percentili su besmisleni.
2. Obavezno koristite rubove klasa na grupiranim podacima (ne granice klasa) ako koristite kontinuirane koncepte.
3. Kumulativna frekvencija mora biti točna jer se kvartilna/decilna/percentilna klasa određuje iz akumulirane frekvencije.
4. Obratite pozornost na duljinu razreda (c). Duljina razreda ne smije biti pogrešna, jer utječe na rezultate izračuna.
5. Interpolacija je važna kada pozicije nisu zaokružene. Mnogi studenti odmah zaokružuju pozicije, iako to može smanjiti točnost.
-
6. Zaključak
Kvartili, decili i percentili važni su statistički alati za razumijevanje distribucije podataka. Kvartili su prikladni za jednostavne sažetke (npr. u boxplotu), decili su korisni za detaljnije grupiranje kao što je analiza dohotka, dok percentili pomažu u procjeni položaja vrlo specifičnog pojedinca unutar populacije. Razumijevanjem osnovnih koraka - sortiranja podataka, određivanja položaja i korištenja odgovarajućih formula za pojedinačne ili grupirane podatke - možete izračunati kvartile, decile i percentile s većom točnošću i pouzdanošću.
Ako želite, mogu dodati potpuni primjer grupirane tablice podataka (interval, frekvencija, kumulativna frekvencija), a zatim detaljno izračunati Q1, D7 i P85 kako bi bilo lakše vježbati.
