पॉइज़ुइल समीकरण के बारे में लेख
पॉइज़्यूइल का समीकरण जीन लुई मैरी पॉइज़्यूइल (1799-1869) द्वारा खोजा गया था। जैसा कि बताया गया है, प्रत्येक द्रव को एक आदर्श द्रव माना जा सकता है। आदर्श द्रव में श्यानता नहीं होती। यदि हम मान लें कि एक आदर्श द्रव पाइप में बह रहा है, तो द्रव का प्रत्येक भाग समान गति (v) से गति करता है। आदर्श द्रव के विपरीत, हमारे दैनिक जीवन में पाए जाने वाले वास्तविक द्रव में श्यानता होती है। श्यानता होने के कारण, उदाहरण के लिए, पाइप में बहते समय द्रव के प्रत्येक भाग की गति भिन्न होती है। मध्य में स्थित द्रव परत अधिक गति से गति करती है (गहराई v), इसके विपरीत, पाइप से चिपकी हुई द्रव परत गति नहीं करती (v = 0)। अतः पाइप के मध्य से किनारे तक, द्रव का प्रत्येक भाग अलग-अलग गति से गति करता है। आपकी समझ को आसान बनाने के लिए, नीचे दिए गए चित्र को देखें।
R = पाइप/ट्यूब की त्रिज्या
v 1 = मध्य/ट्यूब अक्ष में द्रव प्रवाह दर
v 2 = द्रव प्रवाह दर जो ट्यूब के किनारे से r 2 है
v 3 = ट्यूब के किनारे से द्रव प्रवाह दर r 3
v 4 = ट्यूब के किनारे से द्रव प्रवाह दर r 4
आर = दूरी
किसी भी द्रव के प्रत्येक भाग की प्रवाह दर समान होने के लिए, पाइप या किसी भी नली के दोनों सिरों पर दाब का अंतर होना आवश्यक है जिससे द्रव गुजरता है। यहाँ द्रव से तात्पर्य वास्तविक द्रव से है, उदाहरण के लिए, पाइप से बहने वाला पानी या तेल, रक्त वाहिका में बहने वाला रक्त, आदि। वास्तविक द्रव को सुचारू रूप से प्रवाहित करने में सहायता करने के अलावा, दाब का अंतर विभिन्न ऊंचाइयों के पाइपों में भी द्रवों को प्रवाहित करने में सक्षम बनाता है।
जीन लुई मैरी पॉइसुइल, जो मानव रक्त परिसंचरण के भौतिक पहलुओं में रुचि रखने वाले एक पूर्व फ्रांसीसी वैज्ञानिक थे, ने इस बात का अध्ययन किया कि दाब अंतर, ट्यूब का अनुप्रस्थ-क्षेत्रफल और ट्यूब का आकार जैसे कारक वास्तविक द्रव प्रवाह को कैसे प्रभावित करते हैं। जीन लुई मैरी पॉइसुइल द्वारा प्राप्त परिणामों को पॉइसुइल समीकरण के नाम से जाना जाता है।
पॉइज़ुइल समीकरण को पहले से गणना किए गए श्यानता गुणांक समीकरण की सहायता से व्युत्पन्न किया जा सकता है। हम श्यानता समीकरण का उपयोग इसलिए करते हैं क्योंकि मामले समान हैं, भले ही वे एक जैसे न हों। श्यानता गुणांक समीकरण को व्युत्पन्न करते समय, हम दो समानांतर प्लेटों के बीच वास्तविक द्रव परत के प्रवाह की समीक्षा करते हैं, और द्रव आकर्षण बल (F) के कारण गति कर सकता है। अंतर यह है कि पॉइज़ुइल समीकरण, जिसे हम व्युत्पन्न करेंगे, पाइप/ट्यूब में वास्तविक द्रव के प्रवाह और दाब अंतर के कारण प्रवाहित होने वाले द्रव को प्रभावित करने वाले कारकों को बताता है। इसलिए, श्यानता गुणांक समीकरण को पुनः समायोजित करने की आवश्यकता है।
दबाव में अंतर के कारण द्रव प्रवाहित हो सकता है (द्रव उच्च दबाव वाले स्थान से कम दबाव वाले स्थान की ओर प्रवाहित होता है), फिर हम F को p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ) से प्रतिस्थापित करते हैं।
श्यानता गुणांक समीकरण निकालते समय, हम दो समानांतर प्लेटों के बीच वास्तविक द्रव परत के प्रवाह की समीक्षा करते हैं। द्रव का प्रत्येक भाग l दूरी तक अपनी नियमित गति बदलता है। इस स्थिति में, द्रव प्रवाह दर ट्यूब अक्ष से ट्यूब के किनारे तक नियमित रूप से बदलती है। ट्यूब अक्ष में द्रव अधिक (v) गति से बहता है। किनारा जितना अधिक होगा, द्रव की गति उतनी ही कम होगी। ट्यूब की त्रिज्या = ट्यूब अक्ष और ट्यूब के किनारे के बीच की दूरी = R। द्रव के प्रत्येक भाग और ट्यूब के किनारे के बीच की दूरी = r। चूंकि द्रव के प्रत्येक भाग की मात्रा बहुत अधिक है और ट्यूब के किनारे से दूरी भी भिन्न-भिन्न है, इसलिए हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:
v 1 = नली के किनारे से r 1 दूरी पर स्थित द्रव की गति (r 1 = R)
v 2 = नली के किनारे से r 2 दूरी पर स्थित द्रव की गति (r 2 < r 1 )
v 3 = नली के किनारे से r 3 दूरी पर द्रव की गति (r 3 < r 2 < r 1 )
v 4 = नली के किनारे से r 4 दूरी पर स्थित द्रव की गति (r 4 < r 3 < r 2 < r 1 )
............................................. ..
v n = नली के किनारे से rn दूरी पर द्रव की दर (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
द्रव के प्रत्येक भाग की मात्रा बहुत अधिक है, और हमें यह भी ठीक से नहीं पता कि वास्तव में इसकी मात्रा कितनी है, इसलिए इसे n चिह्न से दर्शाना पर्याप्त है। द्रव का प्रत्येक भाग नली के अक्ष (r 1 = R) से नली के किनारे (rn) तक गति (v) में नियमित रूप से परिवर्तन करता है। नली के अक्ष (r 1 = R) से नली के किनारे (rn) तक, द्रव के प्रत्येक भाग की गति कम होती जाती है (v 1 > v 2 > v 3 > v 4 > ….> v n )।
उपरोक्त व्याख्या से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि R से rn तक, द्रव प्रवाह दर कम हो रही है। पाइप की लंबाई = L. प्राप्त समीकरण:
क्योंकि हम द्रव प्रवाह की गति की समीक्षा कर रहे हैं , इसलिए समीकरण 2 इस प्रकार हो जाता है:
यह R त्रिज्या वाले पाइप से r दूरी पर द्रव प्रवाह की गति का समीकरण है। यदि ऊपर दिए गए चित्र को देखकर आपको कोई भ्रम हो तो कृपया ध्यान दें कि द्रव एक नली में प्रवाहित हो रहा है, इसलिए हमें द्रव की मात्रा की प्रवाह दर की समीक्षा करनी होगी।
ट्यूब के अंदर द्रव है। उदाहरण के लिए, हम द्रव को छोटे-छोटे भागों में विभाजित करते हैं, जहाँ प्रत्येक भाग का इकाई क्षेत्रफल dA है, जो ट्यूब अक्ष से दूरी पर स्थित है और जिसकी प्रवाह गति v है। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
dA 1 = द्रव भाग 1, जो ट्यूब अक्ष से dr 1 की दूरी पर स्थित है।
dA 2 = द्रव भाग 2, जो ट्यूब अक्ष से dr 2 की दूरी पर स्थित है।
dA 3 = द्रव भाग 3, जो ट्यूब अक्ष से dr 3 की दूरी पर स्थित है।
..................................
dAn = द्रव भाग n, जो ट्यूब अक्ष से dn की दूरी है।
द्रव के कई भाग होते हैं, इसलिए उन्हें केवल n चिह्न से दर्शाया जाता है, जो अधिक व्यावहारिक है। द्रव के प्रत्येक भाग की आयतन प्रवाह दर को गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:
द्रव का प्रत्येक भाग r = 0 से r = R (R = ट्यूब की त्रिज्या) की दूरी पर स्थित है। दूसरे शब्दों में, ट्यूब अक्ष से मापने पर द्रव के प्रत्येक भाग की दूरी बदलती रहती है। इससे हमें ट्यूब में द्रव के आयतन प्रवाह दर का समीकरण प्राप्त होगा:
Q = डिस्चार्ज, R = पाइप या ट्यूब की त्रिज्या, η = श्यानता गुणांक, P 1 – p 2 = पाइप के दोनों सिरों के बीच दाब अंतर, L = पाइप की लंबाई, p 1 -p 2 / L = दाब प्रवणता (द्रव प्रवाह हमेशा दाब में गिरावट की दिशा में होता है)
उपरोक्त पॉइज़ुइल समीकरण के आधार पर, यह प्रतीत होता है कि द्रव आयतन (Q) की प्रवाह दर ट्यूब की त्रिज्या (R₄) और दाब प्रवणता (p₂ – p₁/L) के समानुपाती होती है तथा श्यानता के व्युत्क्रमानुपाती होती है। यदि ट्यूब की त्रिज्या (श्यानता गुणांक और स्थिर दाब प्रवणता) को जोड़ा जाए, तो द्रव प्रवाह की गति 16 गुना बढ़ जाती है।
पाइप डिज़ाइन की मूल अवधारणा में, इस समीकरण का उपयोग करें। द्रव का निकास R⁴ के समानुपाती होता है ( R = ट्यूब की त्रिज्या)। सिरिंज या पाइप की उंगलियों की त्रिज्या की गणना सावधानीपूर्वक करनी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि हम सुई की त्रिज्या को दोगुना कर दें (rx²), तो छिड़काव द्वारा उत्सर्जित द्रव की मात्रा अंगूठे द्वारा लगाए गए संपीड़न बल से 16 गुना बढ़ जाती है।
पॉइज़ुइल समीकरण यह भी दर्शाता है कि त्रिज्या (r/ 4 ) पाइप के दोनों सिरों के बीच दाब के अंतर के व्युत्क्रमानुपाती होती है। उदाहरण के लिए, रक्त पहले एक रक्त वाहिका में बहता है जिसकी आंतरिक त्रिज्या r है। यदि धमनियों में संकुचन होता है (जैसे, r/2 = रक्त वाहिका की त्रिज्या दोगुनी कम हो जाती है),
फिर रक्त प्रवाह को पहले की तरह बनाए रखने के लिए 16 गुना दबाव अंतर की आवश्यकता होती है (ताकि प्रवाह की गति स्थिर रहे)।
