पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्करें

पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्करें

दो वस्तुओं की टक्कर को पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर तब कहा जाता है जब टक्कर से पहले प्रत्येक वस्तु का संवेग या गतिज ऊर्जा टक्कर के बाद प्रत्येक वस्तु के संवेग और गतिज ऊर्जा के बराबर हो। दूसरे शब्दों में, पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्करों में संवेग संरक्षण नियम और गतिज ऊर्जा संरक्षण नियम लागू होते हैं। प्रत्यास्थ शब्द का प्रयोग यह दर्शाता है कि टक्कर के बाद दोनों वस्तुएँ आपस में चिपकती नहीं हैं बल्कि एक दूसरे से अलग होकर उछल जाती हैं। प्रत्येक वस्तु का संवेग संरक्षित रहता है।

प्रत्येक वस्तु का संवेग संरक्षित रहता है।

m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂ = m ₁ v ₁ ' + m ₂ v ₂ ' ………………….. समीकरण 1.5

प्रत्येक वस्तु की गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है।

1⁄2 mv ₁ ² + 1⁄2 mv ₂ ² = 1⁄2 mv ₁ ' ² + 1⁄2 mv ₂ ' ² ………………….. समीकरण 1.6

[आईआरपी]

पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर शांत होनी चाहिए और टकराने वाली दो वस्तुओं के बीच घर्षण के कारण ऊष्मा उत्पन्न नहीं होनी चाहिए। यदि दो वस्तुओं की टक्कर से शोर और ऊष्मा उत्पन्न होती है, तो वस्तुओं की गतिज ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती। कुछ गतिज ऊर्जा ध्वनि ऊर्जा और ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है, और कुछ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर का एक उदाहरण परमाणु और उप-परमाणु कणों की टक्कर है।

पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर की समस्या में, यदि प्रारंभिक गति ज्ञात हो जबकि अंतिम गति अज्ञात हो, तो समस्या को केवल समीकरण 1.5 और 1.6 का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है। इसी कारणवश, अंतिम गति निर्धारित करने के लिए उपयोग किए जा सकने वाले अन्य समीकरणों को प्राप्त करने के लिए दोनों समीकरणों में हेरफेर किया जाता है।

फैक्टर 1/2 को हटा दें और फिर 1.6 को बदलें।

एम ₁ वी ₁ ² + एम ₂ वी ₂ ² = एम ₁ वी ₁ ' ² + एम ₂ वी ₂ ' ²

एम ₁ वी ₁ ² - एम ₁ वी ₁ ' ² = एम ₂ वी ₂ ' ² - एम ₂ वी ₂ ²

m ₁ (v ₁ ² – v ₁ ' ² ) = m ₂ (v ₂ ' ^{2 –} v ₂ ² ) —> (a + b)(a – b) = a ₂ – b ₂

एम ₁ (वी ₁ + वी ₁ ') (वी ₁ - वी ₁ ') = एम ₂ (वी ₂ ' + वी ₂ ) (वी ₂ ' - वी ₂ ) ……………….. समीकरण 1.7

[आईआरपी]

समीकरण 1.5 को हल करें

एम ₁ वी ₁ - एम ₁ वी ₁ ' = एम ₂ वी ₂ ' - एम ₂ वी ₂

m ₁ (v ₁ – v ₁ ') = m ₂ (v ₂ ' – v ₂ ) ………………….. समीकरण 1.8

अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए समीकरण 1.7 को समीकरण 1.8 से भाग दें।

(वी ₁ + वी ₁ ') = (वी ₂ ' + वी ₂ )

v ₁ – v ₂ = v ₂ ' – v ₁ '

v ₁ – v ₂ = – (v ₁ ' – v ₂ ') ………………….. समीकरण 1.9

समीकरण 1.5 और 1.9 का उपयोग पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्करों की समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। यदि दो वस्तुओं के द्रव्यमान और प्रारंभिक वेग अज्ञात हों, तो उनके अंतिम वेगों को निर्धारित करने के लिए समीकरण 1.5 और 1.9 को संयोजित करने पर दो समीकरण प्राप्त होते हैं।

ऊपर दिए गए समीकरणों का उपयोग करके प्रश्नों को हल करते समय, v1 _और v2 _के लिए सही चिह्न का प्रयोग करें । यदि वस्तु 1 दाईं ओर गति करती है, तो v1 _{धनात्मक} होगा, और इसके विपरीत, यदि वस्तु 2 बाईं ओर गति करती है, तो v2 _{ऋणात्मक} होगा। यदि दोनों वस्तुएँ अलग-अलग दिशाओं में गति करती हैं, लेकिन गति की दिशाओं के बारे में कोई जानकारी नहीं है, तो v1 _और v2 _के चिह्न अलग-अलग होने चाहिए, उदाहरण के लिए, v1 _{धनात्मक} होगा और v2 _{ऋणात्मक} होगा।

4.1.1 समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुएँ

यदि m ₁ = m ₂ , v ₁ ' = v ₂ और v ₂ ' = v ₁.

यदि दोनों वस्तुएँ अलग-अलग दिशाओं में गति करें तो क्या होगा?

उदाहरण के लिए, यदि टक्कर से पहले वस्तु 1 दाईं ओर चलती है और वस्तु 2 बाईं ओर चलती है, तो टक्कर के बाद वस्तु 1 बाईं ओर (v ₁ ' = – v ₂ ) और वस्तु 2 दाईं ओर (v ₂ ' = v _{1 ) चलेगी।}

यदि दोनों में से कोई भी वस्तु प्रारंभ में स्थिर अवस्था में हो तो क्या होगा?

उदाहरण के लिए, यदि टक्कर से पहले वस्तु 2 विराम अवस्था में है (v₂ ₌ 0), तो टक्कर के बाद वस्तु 1 भी विराम अवस्था में होगी (v₁ _' = 0) और वस्तु 2 उसी वेग से गति करेगी जो वस्तु 1 का प्रारंभिक वेग था (v₂ _' = v₁ ₎ । यदि टक्कर से पहले वस्तु 1 दाईं ओर गति करती है, तो टक्कर के बाद वस्तु 2 भी दाईं ओर गति करेगी। अतः, दोनों वस्तुओं के वेग आपस में बदल जाते हैं।

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उदाहरण प्रश्न 4

वस्तु A (2 kg) और B (2 kg) विपरीत दिशाओं में क्रमशः 4 m/s और 2 m/s की गति से गति कर रही हैं। यदि वस्तु A और B पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर में टकराती हैं, तो वस्तु A और B की अंतिम गति क्या होगी?

ज्ञात :

एम _ए = 2 किग्रा, एम _बी = 2 किग्रा, वी _ए = 4 मी/से, वी _बी = - 2 मी/से

आवश्यकता है: v _A और v _B

समाधान:

v _A ' = – 2 मीटर/सेकंड और v _B ' = 4 मीटर/सेकंड

टक्कर के बाद, वस्तु A 2 मीटर/सेकंड की गति से और वस्तु B 4 मीटर/सेकंड की गति से विपरीत दिशाओं में गति करती है। यदि टक्कर से पहले वस्तु A दाईं ओर और वस्तु B बाईं ओर गति करती है, तो टक्कर के बाद वस्तु A बाईं ओर और वस्तु B दाईं ओर गति करेगी।

उदाहरण प्रश्न 5

वस्तु A (2 kg) 2 m/s की गति से दाईं ओर गति करती है और स्थिर अवस्था में स्थित वस्तु B (2 kg) से टकराती है। यदि दोनों वस्तुएँ पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर करती हैं, तो वस्तु A और B की अंतिम गति क्या होगी?

ज्ञात :

एम _ए = 2 किग्रा, एम _बी = 2 किग्रा, वी _ए = 2 मी/से, वी _बी = 0 मी/से

आवश्यकता है: v _A और v _B

समाधान:

v _A ' = 0 और v _B ' = 2 m/s

टक्कर के बाद, वस्तु A स्थिर अवस्था में है, और वस्तु B 2 मीटर/सेकंड की गति से दाईं ओर गति करती है।

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4.1.2 अलग-अलग द्रव्यमान वाली दो वस्तुएँ

यदि दो वस्तुओं के प्रारंभिक वेग और द्रव्यमान अलग-अलग हैं (मामूली अंतर), तो समीकरण 1.10 और 1.11 का उपयोग करके अंतिम वेग ज्ञात किए जाते हैं।

यदि प्रारंभ में वस्तु 2 विराम अवस्था में है (v ₂ = 0), तो समीकरण 1.10 समीकरण 1.12 बन जाता है और समीकरण 1.11 समीकरण 1.13 बन जाता है।

यदि v₂ ₌ 0 , m₁ _बहुत बड़ा और m₂ बहुत छोटा हो _, तो समीकरण 1.12 और 1.13 को हल करने पर v₁ _{' =} v₁ _और v₂ _{' =} 2v₁ _{प्राप्त होते} हैं _। धनात्मक और _{ऋणात्मक} चिह्न गति की विपरीत दिशाओं को _{दर्शाते} हैं ।

उदाहरण प्रश्न 6

1 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक वस्तु 20 मीटर/सेकंड की गति से चलती हुई एक दीवार से पूर्णतः प्रत्यास्थ टक्कर करती है। वस्तु और दीवार की अंतिम गति क्या होगी?

ज्ञात :

m _A = 1 kg, v _A = 20 m/s, m _​​B = बहुत अधिक, v _B = 0

आवश्यकता है : v _A और v _B

समाधान:

v _A ' = -20 m/s और v _B ' = 0

टक्कर के बाद, वस्तु A 20 मीटर/सेकंड की गति से उछलती है और वस्तु B स्थिर रहती है। यदि टक्कर से पहले वस्तु A दाईं ओर गति करती है, तो टक्कर के बाद वह बाईं ओर गति करती है।