आर्किमिडीज सिद्धांत

आर्किमिडीज सिद्धांत के बारे में लेख

भारी वजन वाला जहाज नहीं डूबता, जबकि छोटा पत्थर डूब सकता है। ऐसा क्यों होता है? यदि आप उत्प्लावन बल और आर्किमिडीज के सिद्धांत को समझते हैं, तो इसका उत्तर स्पष्ट है।

रोजमर्रा की जिंदगी में हम देखते हैं कि किसी द्रव में डाली गई वस्तु, जैसे कि पत्थर, का वजन द्रव में न होने की तुलना में कम होता है। आपको जमीन से पत्थर उठाना मुश्किल लग सकता है, लेकिन वही पत्थर समुद्र के तल से आसानी से उठ जाता है। यह उत्प्लावन बल के कारण होता है। उत्प्लावन बल विभिन्न गहराइयों पर द्रव के दाब में अंतर के कारण होता है। गहराई बढ़ने के साथ द्रव का दाब बढ़ता है; द्रव जितना गाढ़ा होगा, उसका दाब उतना ही अधिक होगा। जब किसी वस्तु को द्रव में डाला जाता है, तो वस्तु के ऊपरी भाग और निचले भाग में दाब में अंतर होता है। वस्तु के निचले भाग में स्थित द्रव का दाब ऊपरी भाग में स्थित द्रव के दाब से अधिक होता है।

चित्र में, आप पानी में तैरती हुई एक वस्तु देख सकते हैं। वस्तु के तल पर स्थित द्रव का दाब वस्तु के शीर्ष पर स्थित द्रव के दाब से अधिक है। इसका कारण यह है कि वस्तु के नीचे स्थित द्रव की गहराई वस्तु के ऊपर स्थित द्रव की तुलना में अधिक है (p₂ > एच₁).

_{h 2} की गहराई पर द्रव दाब की मात्रा है:

_{h 1} की गहराई पर द्रव दाब की मात्रा है:

F₂ ₌ वस्तु के तल पर द्रव द्वारा लगाया गया बल, F₁ ₌ वस्तु के तल पर द्रव द्वारा लगाया गया बल, A = वस्तु का पृष्ठीय क्षेत्रफल

_{F 2} और F ₁ के बीच का अंतर किसी वस्तु पर द्रव द्वारा लगाया गया कुल बल है, जिसे हम उत्प्लावन बल कहते हैं। उत्प्लावन बल की मात्रा इस प्रकार है:

_{उत्प्लावन बल} F = F ₂ − F ₁

एफ _उछाल = (ρ gh ₂ ए) - (ρ gh ₁ ए)

एफ _उछाल = ρ जी ए (एच ₂ - एच ₁ )

_{उत्प्लावन बल} F = ρ F g A h

F _{उत्प्लावन बल} = ρ F g V

ρ _F = द्रव का घनत्व, g = गुरुत्वाकर्षण त्वरण, V = द्रव में मौजूद वस्तुओं का आयतन

अतः, हम ऊपर दिए गए उत्प्लावन बल (F उत्प्लावन बल) की मात्रा बताने वाला समीकरण लिख सकते हैं:

एफ _उछाल = ρ _एफ जी वी → एम = ρ वी

_{उत्प्लावन बल} F = m _F g

_{उत्प्लावन बल} = w _F

m _F g = w _F = द्रव का भार जिसका आयतन डूबी हुई वस्तु के आयतन के बराबर है।

उपरोक्त समीकरण के आधार पर, हम कह सकते हैं कि उत्प्लावन बल विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है, और विस्थापित द्रव का आयतन द्रव में डूबी वस्तु के आयतन के लगभग बराबर होता है।

यदि किसी वस्तु को तरल में तैरते हुए डाला जाता है, जहाँ वस्तु का डाला गया भाग केवल एक हिस्सा होता है,

तो विस्थापित द्रव का आयतन = द्रव में डूबे हुए वस्तु के भाग का आयतन। वस्तु चाहे जो भी हो और उसका आकार कैसा भी हो, सभी को एक ही अनुभव होगा। यह आर्किमिडीज (287-212 ईसा पूर्व) के कार्य का परिणाम है, जिसे आर्किमिडीज का सिद्धांत कहा जाता है।

आर्किमिडीज का सिद्धांत कहता है कि:

जब किसी वस्तु को किसी द्रव में पूर्णतः या आंशिकतः डुबोया जाता है, तो द्रव वस्तु पर ऊपर की ओर बल (उत्प्लावन बल) लगाता है, जहाँ ऊपर की ओर लगने वाले बल (उत्प्लावन बल) की मात्रा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होती है।

आर्किमिडीज की कहानी

287-212 ईसा पूर्व के बीच जीवित रहे आर्किमिडीज को राजा हिरोन द्वितीय ने यह पता लगाने का काम सौंपा था कि राजा के लिए बनाया गया मुकुट शुद्ध सोने का है या नहीं। मुकुट शुद्ध सोने का है या उसमें अन्य धातुएँ मिली हुई हैं, यह जानने के लिए आर्किमिडीज पहले तो असमंजस में पड़ गए। समस्या यह थी कि मुकुट का आकार अनियमित था और उसे पहले नष्ट नहीं किया जा सकता था ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि मुकुट शुद्ध सोने का है या नहीं।

किसी मुकुट के शुद्ध सोने का होने या न होने का निर्धारण करने का तरीका यह है कि पहले मुकुट का वजन ज्ञात किया जाए और फिर उसकी तुलना सोने के विशिष्ट गुरुत्व से की जाए। यदि मुकुट शुद्ध सोने का है, तो मुकुट का विशिष्ट गुरुत्व सोने के विशिष्ट गुरुत्व के बराबर होगा।

किसी वस्तु का विशिष्ट गुरुत्व, हवा में वस्तु के भार और समान आयतन वाले पानी के भार का अनुपात होता है। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

किसी वस्तु के आयतन के बराबर आयतन वाले पानी का भार कैसे ज्ञात करें?

आर्किमिडीज के अनुसार, किसी वस्तु के आयतन के बराबर आयतन वाले पानी का भार, वस्तु के डूबने पर लगने वाले उत्प्लावन बल के बराबर होता है (वस्तु का पूरा भाग पानी में डूब जाता है)। यह पानी में तौलने पर वस्तुओं के घटे हुए भार के बराबर होता है। अतः:

मुकुट का विशिष्ट गुरुत्व ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले मुकुट का वजन हवा में मापा जाता है (हवा में मुकुट का वजन)। फिर मुकुट को पानी में डाला जाता है और फिर से तौला जाता है, जिससे मुकुट के वजन में हुई कमी का पता चलता है। अतः:

मुकुट का विशिष्ट गुरुत्व ज्ञात करने के बाद, उसकी तुलना सोने के विशिष्ट गुरुत्व से की जाती है। सोने का विशिष्ट गुरुत्व 19.3 होता है। यदि मुकुट का विशिष्ट गुरुत्व सोने के विशिष्ट गुरुत्व के बराबर है, तो मुकुट शुद्ध सोने का बना है। लेकिन यदि मुकुट शुद्ध सोने का नहीं बना है, तो मुकुट का विशिष्ट गुरुत्व सोने के विशिष्ट गुरुत्व के बराबर नहीं होगा।

जहाज डूबता क्यों नहीं है?

यदि किसी वस्तु का घनत्व जल के घनत्व से कम है, तो वह वस्तु तैरेगी। इसके विपरीत, यदि किसी वस्तु का घनत्व जल के घनत्व से अधिक है, तो वह वस्तु डूब जाएगी। अधिकांश जहाज लोहे और इस्पात से बने होते हैं। लोहे और इस्पात का घनत्व 7.8 x 10³ kg/m³ है, ^जबकि जल ^का घनत्व 1.00 x 10³ kg/m³ है ^। ऐसा ^{प्रतीत} होता है कि लोहे और इस्पात का घनत्व जल के घनत्व से अधिक है। इस स्थिति में, लोहे और इस्पात का विशिष्ट गुरुत्व 7.8 है। जहाज को डूब जाना चाहिए। लेकिन जहाज क्यों नहीं डूबता? जहाज का कुल घनत्व जल या समुद्री जल के घनत्व से कम है।

उदाहरण समस्या 1:

एक तालाब की तलहटी में 40 किलोग्राम द्रव्यमान का एक पत्थर पड़ा है। यदि पत्थर का आयतन 0.2 वर्ग मीटर है, तो पत्थर को उठाने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल क्या होगा?

ज्ञात:

पत्थर का द्रव्यमान (मी) = 40 किलोग्राम

पत्थर का आयतन (V) = 0.02 ^m³

पानी का घनत्व = 1000 किलोग्राम/ ^{मीटर³}

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

आवश्यकता: न्यूनतम महिला

उपाय:

_{उत्प्लावन बल} = w _F

F _{उत्प्लावन बल} = m _F g → m = pV

F _{उत्प्लावन बल} = ρ _F g V

_{उत्प्लावन बल} F = (1000 kg/m³ ⁾ (10 m/s² ⁾ (0.02 ^m³ )

_{उत्प्लावन बल} F = 200 kg m/ ^s²

_{उत्प्लावन बल} F = 200 N

पत्थर का वजन (w) = मिलीग्राम

पत्थर का वजन = (40 कि.ग्रा.)(10 मीटर/ ^{सेकंड²} )

पत्थर का वजन = 400 किलोग्राम मीटर/ ^{सेकंड²}

पत्थर का वजन = 400 N

पत्थर को उठाने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल :

पत्थर का वजन – उत्प्लावन बल = 400 N – 200 N = 200 N

उदाहरण समस्या 2:

पानी में वस्तु का भार = 5000 kg m/s² ^और पानी में वस्तु का भार = 4000 kg m/s² ^। यदि वस्तु का घनत्व = 2000 kg/m³ है ^, तो वस्तु का द्रव्यमान और आयतन क्या है? g = 10 m/ ^s²

उपाय

गुरुत्वाकर्षण का त्वरण (g) = 10 m/ ^s²

वस्तु का घनत्व = 2000 किलोग्राम/मेल्टिंग ^मीटर

पानी का घनत्व = 1000 किलोग्राम/ ^{मीटर³}

हवा में वस्तु का भार = 5000 kg m/ ^s²

पानी में वस्तु का भार = 4000 किलोग्राम मीटर/ ^{सेकंड²}

उत्प्लावन बल (F उत्प्लावन बल) = हवा में वस्तु का भार – पानी में वस्तु का भार

उत्प्लावन बल = 5000 kg m/s² ^– 4000 kg m/ ^s²

उत्प्लावन बल F = 1000 kg m/ ^s²

उत्प्लावन बल = विस्थापित जल का भार

उत्प्लावन बल = (जल का द्रव्यमान)(ग्राम)

उत्प्लावन बल = (विस्थापित जल का आयतन)(जल का घनत्व)(ग्राम)

विस्थापित जल का आयतन = जल में वस्तु का आयतन

वस्तु का आयतन = 0.1 ^m³

वस्तु का द्रव्यमान = ?

ρ = एम / वी

m = ρ V

मी = (2000 किग्रा / मी ³ )(0.1 मी ³ )

m = 200 किलो

वस्तु का द्रव्यमान = 200 किलोग्राम

उदाहरण समस्या 3:

यदि किसी गुब्बारे को 500 किलोग्राम भार उठाना हो तो कितनी मात्रा में हीलियम की आवश्यकता होगी?

उपाय:

हीलियम का घनत्व = 0.1786 kg/ ^m³

हवा का घनत्व = 1.293 किलोग्राम/ ^{मीटर³}

उत्प्लावन बल = विस्थापित वायु का भार = वस्तु का भार + हीलियम का भार

उत्प्लावन बल = वस्तु का भार + हीलियम का भार

उत्प्लावन बल = (भार का द्रव्यमान)(ग्राम) + (हीलियम का द्रव्यमान)(ग्राम)

उत्प्लावन बल = (भार का द्रव्यमान + हीलियम का द्रव्यमान) ग्राम —- समीकरण 1

उत्प्लावन बल = विस्थापित वायु का भार

उत्प्लावन बल = (विस्थापित वायु का द्रव्यमान)(g) —- समीकरण 2

हम समीकरण 1 और समीकरण 2 को मिलाते हैं:

(लोड का द्रव्यमान + हीलियम का द्रव्यमान)(ग्राम) = (विस्थापित वायु का द्रव्यमान)(ग्राम)

भार का द्रव्यमान + हीलियम का द्रव्यमान = विस्थापित वायु का द्रव्यमान

500 kg + (ρ हीलियम)(V हीलियम) = (ρ जल)(V जल)

500 kg = (ρ जल)(V जल) – (ρ हीलियम)(V हीलियम)

विस्थापित वायु का आयतन (V air) = गुब्बारे में हीलियम का आयतन (V helium)

500 किग्रा = (ρ पानी - ρ हीलियम)(V)

पृथ्वी की सतह पर भार उठाने के लिए हीलियम की न्यूनतम मात्रा यही है। गुब्बारे को और ऊपर ले जाने के लिए हीलियम की मात्रा बढ़ानी पड़ती है। हवा का घनत्व ऊंचाई के साथ घटता है, इसलिए हीलियम की मात्रा बढ़ानी पड़ती है।