पॉइज़ुइल का समीकरण

इसे पॉइज़ुइल समीकरण कहा जाता है क्योंकि इसकी खोज जीन लुई मैरी पॉइज़ुइल (1799-1869) ने की थी। जैसा कि बताया गया है, हर तरल को आदर्श तरल माना जा सकता है। आदर्श तरलों में श्यानता नहीं होती। अगर हम किसी पाइप में बहते हुए आदर्श तरल की कल्पना करें, तो तरल का हर हिस्सा एक ही गति (v) से गति करता है। आदर्श तरलों के विपरीत, वास्तविक तरल पदार्थ, या वे तरल पदार्थ जिनसे हम रोज़मर्रा की ज़िंदगी में मिलते हैं, उनमें श्यानता होती है। श्यानता होने के कारण, उदाहरण के लिए, जब वे किसी पाइप में बहते हैं, तो तरल के हर हिस्से की गति अलग-अलग होती है। बीच की परत तेज़ी से गति करती है (v अधिक होता है), जबकि पाइप से जुड़ी परत स्थिर रहती है (v = 0)। इसलिए, पाइप के केंद्र से किनारे तक, तरल का हर हिस्सा अलग-अलग गति से गति करता है। इसे आसानी से समझने के लिए, नीचे दी गई छवि देखें…

टिप्पणी:

R = पाइप/ट्यूब की त्रिज्या

v ₁ = ट्यूब के केंद्र/अक्ष में द्रव प्रवाह दर

v ₂ = ट्यूब के किनारे से r ₂ दूरी पर द्रव प्रवाह दर

v ₃ = ट्यूब के किनारे से r ₃ दूरी पर द्रव प्रवाह दर

v ₄ = ट्यूब के किनारे से r ₄ दूरी पर द्रव प्रवाह दर

r = दूरी

प्रत्येक द्रव की प्रवाह दर समान रखने के लिए, जिस भी पाइप या नली से द्रव प्रवाहित होता है, उसके दोनों सिरों पर दाब का अंतर होना आवश्यक है। यहाँ द्रव से हमारा तात्पर्य वास्तविक द्रवों से है, जैसे कि पाइप से बहने वाला पानी या तेल, रक्त वाहिकाओं से बहने वाला रक्त आदि। दाब का अंतर न केवल वास्तविक द्रव को सुचारू रूप से प्रवाहित करने में सहायक होता है, बल्कि यह द्रवों को अलग-अलग ऊँचाई पर स्थित पाइपों में भी प्रवाहित होने में सक्षम बनाता है।

जीन लुई मैरी पॉइसुइल, जो मानव रक्त परिसंचरण के भौतिक पहलुओं में रुचि रखने वाले एक पूर्व फ्रांसीसी वैज्ञानिक थे, ने यह पता लगाने के लिए शोध किया कि दबाव में अंतर, नली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और नली का आकार जैसे कारक किसी वास्तविक द्रव के वेग को कैसे प्रभावित करते हैं। जीन लुई मैरी पॉइसुइल द्वारा प्राप्त परिणामों को पॉइसुइल समीकरण के रूप में जाना जाता है।

पॉइज़ुइल समीकरण को पहले से प्राप्त श्यानता गुणांक समीकरण का उपयोग करके व्युत्पन्न किया जा सकता है। हम श्यानता समीकरण का उपयोग इसलिए करते हैं क्योंकि मामला समान है, हालांकि बिल्कुल एक जैसा नहीं है। श्यानता गुणांक समीकरण को व्युत्पन्न करते समय, हम दो समानांतर प्लेटों के बीच एक वास्तविक द्रव परत के प्रवाह पर विचार करते हैं, और द्रव तनाव बल (F) के कारण गतिमान होता है। अंतर यह है कि पॉइज़ुइल समीकरण, जिसे हम व्युत्पन्न करेंगे, वास्तव में एक पाइप/ट्यूब में वास्तविक द्रव के प्रवाह को प्रभावित करने वाले कारकों को बताता है, और द्रव दाब अंतर के कारण प्रवाहित होता है। इसलिए, श्यानता गुणांक समीकरण को पुनः समायोजित करने की आवश्यकता है।

दबाव में अंतर के कारण तरल पदार्थ प्रवाहित हो सकते हैं (तरल पदार्थ उच्च दबाव वाले स्थानों से कम दबाव वाले स्थानों की ओर प्रवाहित होते हैं), इसलिए हम F को p ₁ – p ₂ (p ₁ > p ₂ ) से प्रतिस्थापित करते हैं।

श्यानता गुणांक के लिए समीकरण निकालते समय, हम दो समानांतर प्लेटों के बीच एक वास्तविक द्रव परत के प्रवाह पर विचार करते हैं। द्रव के प्रत्येक भाग में वेग में l दूरी तक नियमित परिवर्तन होता है। इस स्थिति में, द्रव प्रवाह दर ट्यूब के अक्ष से किनारे तक नियमित रूप से बदलती रहती है। ट्यूब के अक्ष पर द्रव अधिक गति (v) से प्रवाहित होता है। किनारे की ओर बढ़ने पर द्रव की गति कम हो जाती है। ट्यूब की त्रिज्या = ट्यूब के अक्ष और किनारे के बीच की दूरी = R। द्रव के प्रत्येक भाग और किनारे के बीच की दूरी = r। चूंकि द्रव के प्रत्येक भाग की संख्या बहुत अधिक है और किनारे से उनकी दूरी भी बदलती रहती है, इसलिए हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:

v ₁ = नली के किनारे से r1 दूरी पर द्रव की गति (r1 = R)

v ₂ = नली के किनारे से r2 दूरी पर द्रव की गति (r2 < r1)

v ₃ = नली के किनारे से r3 दूरी पर द्रव की गति (r3 < r2 < r1)

v ₄ = नली के किनारे से r4 दूरी पर द्रव की गति (r4 < r3 < r2 < r1)

............................................. ..

vn = नली के किनारे से rn दूरी पर द्रव का वेग (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )

द्रव के प्रत्येक भाग की संख्या बहुत अधिक है और हमें यह भी ठीक से नहीं पता कि वास्तव में यह कितनी है, इसलिए इसे n चिह्न से दर्शाना पर्याप्त है। द्रव के प्रत्येक भाग में नली के अक्ष (r1 = R) से नली के किनारे (rn) तक परिवर्तन की दर (v) नियमित रूप से बदलती है। नली के अक्ष (r1 = R) से नली के किनारे (rn) तक, द्रव के प्रत्येक भाग की परिवर्तन दर घटती जाती है (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn)।

उपरोक्त व्याख्या से हमें यह अंदाजा हो सकता है कि R से rn तक द्रव प्रवाह दर घटती है। पाइप की लंबाई = L. प्राप्त समीकरण इस प्रकार है:

क्योंकि हम यहाँ द्रव प्रवाह की दर (v) पर विचार कर रहे हैं, इसलिए समीकरण 2 इस प्रकार हो जाता है:

यह समीकरण R त्रिज्या वाले पाइप से r दूरी पर द्रव प्रवाह दर को दर्शाता है। यदि आप ऊपर दिए गए चित्र को देखकर भ्रमित हो रहे हैं... तो कृपया ध्यान दें कि द्रव एक पाइप या ट्यूब में प्रवाहित होता है, इसलिए हमें द्रव की आयतन प्रवाह दर की समीक्षा करनी होगी।

ट्यूब के अंदर एक द्रव है। उदाहरण के लिए, हम द्रव को बहुत छोटे-छोटे टुकड़ों में विभाजित करते हैं, जहाँ प्रत्येक टुकड़े का इकाई क्षेत्रफल dA है, ट्यूब के अक्ष से दूरी पर है और प्रवाह दर v है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

dA1 = द्रव अनुभाग 1, जो ट्यूब अक्ष से 1 की दूरी पर स्थित है।

dA2 = द्रव अनुभाग 2, जो ट्यूब अक्ष से 2 की दूरी पर स्थित है।

dA3 = द्रव अनुभाग 3, जो ट्यूब अक्ष से 3 की दूरी पर स्थित है।

..................................

dA n = द्रव अनुभाग n, जो ट्यूब अक्ष से dA n की दूरी पर स्थित है।

तरल पदार्थों की इतनी अधिक मात्रा है कि उन्हें केवल n चिह्न से लिखना सुविधाजनक है। प्रत्येक तरल पदार्थ की आयतन प्रवाह दर को गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:

द्रव का प्रत्येक कण r = 0 से r = R (R = ट्यूब की त्रिज्या) की दूरी पर स्थित है। दूसरे शब्दों में, ट्यूब के अक्ष से मापने पर द्रव के प्रत्येक कण की दूरी बदलती रहती है। यदि हम कैलकुलस (इंटीग्रेशन) का उपयोग करें, तो हमें ट्यूब में द्रव के आयतन प्रवाह दर का समीकरण प्राप्त होगा:

टिप्पणी:

Q = डेबिट

R = पाइप या ट्यूब की आंतरिक त्रिज्या

η = श्यानता गुणांक

P ₁ – p ₂ = पाइप के दोनों सिरों के बीच दाब का अंतर

L = पाइप की लंबाई

p ₁ -p ₂ /L = दाब प्रवणता (द्रव प्रवाह हमेशा घटते दाब की दिशा में होता है)

उपरोक्त पॉइज़ुइल समीकरण के आधार पर, यह प्रतीत होता है कि द्रव की आयतन प्रवाह दर, जिसे डिस्चार्ज (Q) भी कहा जाता है, ट्यूब की त्रिज्या (R⁴) की चौथी घात और दाब प्रवणता (p₂ – p₁/L) के समानुपाती होती है _तथा श्यानता _के व्युत्क्रमानुपाती _होती है। यदि ट्यूब की त्रिज्या बढ़ा दी जाए (श्यानता गुणांक और दाब प्रवणता स्थिर रहें), तो द्रव प्रवाह दर 16 गुना बढ़ जाती है।

पाइप, सिरिंज और अन्य चीजों के डिजाइन में इस समीकरण का मूल सिद्धांत लागू होता है। द्रव प्रवाह दर R⁴ के समानुपाती होती है ₍ R = ट्यूब की त्रिज्या)। सिरिंज या पाइप की त्रिज्या की गणना सावधानीपूर्वक करनी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि हम सुई की त्रिज्या को दोगुना कर दें (r x 2), तो स्प्रे करने वाले द्रव की प्रवाह दर अंगूठे के दबाव बल को 16 गुना बढ़ा देती है।

पॉइज़ुइल का समीकरण यह भी दर्शाता है कि त्रिज्या की चौथी घात (r⁴ ⁾ पाइप के दोनों सिरों के बीच दाब अंतर के व्युत्क्रमानुपाती होती है। उदाहरण के लिए, प्रारंभ में रक्त एक रक्त वाहिका में प्रवाहित होता है जिसकी आंतरिक त्रिज्या r है। यदि रक्त वाहिका संकुचित हो जाती है (उदाहरण के लिए, r/2 = रक्त वाहिका की आंतरिक त्रिज्या 2 गुना कम हो जाती है), तो रक्त को पहले की तरह प्रवाहित करने के लिए 16 गुना दाब अंतर की आवश्यकता होती है (ताकि निर्वहन या रक्त की मात्रा का प्रवाह स्थिर रहे)।