આર્કિમિડીઝ સિદ્ધાંત વિશેનો લેખ
વિશાળ વજન ધરાવતું વહાણ ડૂબતું નથી, જ્યારે નાનો પથ્થર ડૂબી શકે છે. આવું કેમ? જો તમે ઉછાળાની વિભાવના અને આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંતને સમજો છો તો જવાબ સીધો છે.
રોજિંદા જીવનમાં, આપણે જોશું કે જે વસ્તુઓ પ્રવાહીમાં દાખલ કરવામાં આવે છે, જેમ કે ખડક, તેનું વજન જ્યારે પદાર્થો પ્રવાહીમાં ન હોય તેના કરતા ઓછું હોય છે. તમને જમીન પરથી પથ્થર ઉપાડવામાં મુશ્કેલી પડી શકે છે, પરંતુ તે જ પથ્થર દરિયાના પાણીના તળિયેથી સરળતાથી ઉપાડવામાં આવે છે. આ ઉછાળાના બળને કારણે છે. વિવિધ ઊંડાણો પર પ્રવાહી દબાણમાં તફાવતને કારણે ઉછાળા થાય છે. ઊંડાણ સાથે પ્રવાહી દબાણ વધે છે, પ્રવાહી જેટલું જાડું હશે, પ્રવાહીનું દબાણ વધારે હશે. જ્યારે કોઈ પદાર્થ પ્રવાહીમાં દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પદાર્થની ટોચ પર રહેલા પ્રવાહી અને પદાર્થના તળિયે રહેલા પ્રવાહી વચ્ચે દબાણમાં તફાવત હશે. પદાર્થના તળિયે સ્થિત પ્રવાહીનું દબાણ પદાર્થની ટોચ પર રહેલા પ્રવાહી કરતાં વધુ હોય છે.
આકૃતિમાં, તમે પાણીમાં તરતી વસ્તુ જોઈ શકો છો. વસ્તુના તળિયે રહેલા પ્રવાહીનું દબાણ વસ્તુના ઉપરના પ્રવાહી કરતાં વધુ હોય છે. આનું કારણ એ છે કે વસ્તુની નીચે રહેલા પ્રવાહીની ઊંડાઈ વસ્તુની ઉપરના પ્રવાહી કરતાં વધુ નોંધપાત્ર હોય છે (p2 > એચ1).
h 2 ની ઊંડાઈએ પ્રવાહી દબાણનું પ્રમાણ છે:
h 1 ની ઊંડાઈએ પ્રવાહી દબાણનું પ્રમાણ છે:
F 2 = પદાર્થના તળિયે પ્રવાહી દ્વારા લાગુ કરાયેલ બળ, F 1 = પદાર્થની ટોચ પર પ્રવાહી દ્વારા લાગુ કરાયેલ બળ, A = પદાર્થનું સપાટી ક્ષેત્રફળ
F 2 અને F 1 વચ્ચેનો તફાવત પદાર્થ પર પ્રવાહી દ્વારા આપવામાં આવતા કુલ બળ છે, જેને આપણે ઉછાળા બળ તરીકે જાણીએ છીએ. ઉછાળાનું પ્રમાણ છે:
F ઉછાળો = F 2 − F 1
F ઉછાળો = (ρ gh 2 A) − (ρ gh 1 A)
F ઉછાળો = ρ g A (h 2 − h 1 )
F ઉછાળો = ρ F g A h
F ઉછાળો = ρ F g V
ρ F = પ્રવાહી ઘનતા, g = ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ, V = પ્રવાહીમાં રહેલા પદાર્થોનું કદ
તો, આપણે ઉપર ઉછાળા (F ઉછાળા) નું પ્રમાણ દર્શાવતું સમીકરણ લખી શકીએ છીએ:
F ઉલ્લાસ = ρ F g V → m = ρ V
F ઉછાળો = m F g
F ઉછાળો = w F
m F g = w F = ડૂબેલા પદાર્થના જથ્થા જેટલું જ વોલ્યુમ ધરાવતા પ્રવાહીનું વજન.
ઉપરોક્ત સમીકરણના આધારે, આપણે કહી શકીએ કે ઉછાળાનું બળ વિસ્થાપિત થતા પ્રવાહીના વજન જેટલું છે, વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થના કદ જેટલું છે.
જો પદાર્થ પ્રવાહીમાં દાખલ કરવામાં આવે, તરતો હોય, જ્યાં પદાર્થનો જે ભાગ દાખલ કરવામાં આવે છે તે ફક્ત એક ભાગ હોય,
પછી વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું કદ = પ્રવાહીમાં ડૂબેલા પદાર્થના ભાગનું કદ. પદાર્થ ગમે તે હોય અને તેનો આકાર ગમે તે હોય, દરેક વ્યક્તિ એક જ વસ્તુનો અનુભવ કરશે. આ આર્કિમિડીઝ (287-212 બીસી) નું કાર્ય પરિણામ છે, જેને આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે:
જ્યારે કોઈ પદાર્થને સંપૂર્ણપણે અથવા આંશિક રીતે પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહી પદાર્થને ઉપર તરફનું બળ (ઉછાળવાળો બળ) આપશે, જ્યાં ઉપર તરફનું બળ (ઉછાળવાળો બળ) વિસ્થાપિત થતા પ્રવાહીના વજન જેટલું હશે.
આર્કિમિડીઝની વાર્તા
૨૮૭-૨૧૨ બીસી વચ્ચે રહેતા આર્કિમિડીઝને રાજા હિરોન II દ્વારા રાજા માટે બનાવેલ મુગટ શુદ્ધ સોનાનો બનેલો છે કે નહીં તેની તપાસ કરવાનું કામ સોંપવામાં આવ્યું હતું. મુગટ શુદ્ધ સોનાનો બનેલો છે કે નહીં તે શોધવા માટે, આર્કિમિડીઝ શરૂઆતમાં મૂંઝવણમાં હતા. સમસ્યા એ છે કે, મુગટનો આકાર અનિયમિત છે અને તેને પહેલા નાશ કરી શકાતો નથી જેથી નક્કી કરી શકાય કે મુગટ શુદ્ધ સોનાનો બનેલો છે કે નહીં.
તાજ શુદ્ધ સોનાનો બનેલો છે કે નહીં તે નક્કી કરવાનો વિચાર એ છે કે પહેલા તાજનું વજન નક્કી કરવું અને પછી તેની સરખામણી સોનાના ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણ સાથે કરવી. જો તાજ શુદ્ધ સોનાનો બનેલો હોય, તો તાજનું ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણ = સોનાનું ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણ.
કોઈ પણ વસ્તુનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ એ હવામાં રહેલા વસ્તુના વજન અને તેના જથ્થા જેટલા જ જથ્થાવાળા પાણીના વજન વચ્ચેનો ગુણોત્તર છે. ગાણિતિક રીતે લખાયેલ:
પદાર્થોના જથ્થા જેટલું જ કદ ધરાવતા પાણીનું વજન કેવી રીતે નક્કી કરવું?
આર્કિમિડીઝના મતે, પદાર્થના જથ્થા જેટલું જ પાણીનું વજન = પદાર્થ ડૂબતી વખતે ઉછાળા બળનું પ્રમાણ (વસ્તુનો આખો ભાગ પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે). આ પાણીમાં વજન કરતી વખતે ઘટેલા પદાર્થોના વજન જેટલું જ છે. તેથી:
તાજનું ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણ નક્કી કરવા માટે, તાજનું વજન પહેલા હવામાં કરવામાં આવે છે (હવામાં તાજનું વજન). પછી તાજને પાણીમાં નાખવામાં આવે છે અને પછી તાજનું ગુમાવેલું વજન મેળવવા માટે ફરીથી તેનું વજન કરવામાં આવે છે. તેથી:
મુગટનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રાપ્ત થયા પછી, તેની સરખામણી સોનાના વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ સાથે કરવામાં આવે છે. સોનાનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ = 19.3. જો મુગટનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ = સોનાનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ હોય, તો મુગટ શુદ્ધ સોનાનો બનેલો છે. પરંતુ જો મુગટ શુદ્ધ સોનાનો ન બનેલો હોય, તો મુગટનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ સોનાના વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ જેટલું હોતું નથી.
વહાણ કેમ ડૂબતું નથી?
જો કોઈ વસ્તુની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા ઓછી હોય, તો તે વસ્તુ તરતી રહેશે. તેનાથી વિપરીત, જો કોઈ વસ્તુની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા વધારે હોય, તો તે વસ્તુ ડૂબી જશે. મોટાભાગના જહાજો લોખંડ અને સ્ટીલના બનેલા હોય છે. લોખંડ અને સ્ટીલની ઘનતા = 7.8 x 10 3 kg/m3 જ્યારે પાણીની ઘનતા = 1.00 x 10 3 kg/m3 . એવું લાગે છે કે લોખંડ અને સ્ટીલની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા વધારે છે. આ કિસ્સામાં, લોખંડ અને સ્ટીલનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ = 7.8. વહાણ એક સિંક હોવું જોઈએ. વહાણ કેમ ડૂબતું નથી? વહાણની કુલ ઘનતા પાણી અથવા દરિયાઈ પાણીની ઘનતા કરતા ઓછી છે.
ઉદાહરણ સમસ્યા ૧:
40 કિલો વજન ધરાવતો પથ્થર તળાવના તળિયે છે. જો પથ્થરનું કદ = 0.2 m3 હોય, તો તેને ઉપાડવા માટે ઓછામાં ઓછું કેટલું બળ લાગશે?
જાણીતા:
પથ્થરનું દળ (મી) = 40 કિલો
પથ્થરનું કદ (V) = 0.02 m 3
પાણીની ઘનતા = 1000 કિગ્રા/મીટર 3
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ (g) = 10 m/s 2
જોઈએ છે: ઓછામાં ઓછું F
ઉકેલ:
F ઉછાળો = w F
F ઉછાળો = m F g → m = pV
F ઉછાળો = ρ F g V
F ઉછાળો = (1000 કિગ્રા/મીટર 3 )(10 મીટર/સેકન્ડ 2 )(0.02 મીટર 3 )
F ઉછાળો = 200 કિગ્રા m/s 2
F ઉછાળો = 200 N
પથ્થરનું વજન (w) = મિલિગ્રામ
પથ્થરનું વજન = (40 કિગ્રા)(10 મીટર/સેકન્ડ 2 )
પથ્થરનું વજન = 400 કિગ્રા મીટર/સેકન્ડ 2
પથ્થરનું વજન = 400 N
પથ્થર ઉપાડવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ બળ :
પથ્થરનું વજન - ઉછાળા બળ = 400 N – 200 N = 200 N
ઉદાહરણ સમસ્યા ૧:
પાણીમાં પદાર્થનું વજન = 5000 kg m/s 2 અને પાણીમાં પદાર્થનું વજન = 4000 kg m/s 2. જો પદાર્થની ઘનતા = 2000 kg/m 3 હોય , તો પદાર્થનું દળ અને કદ કેટલું હશે? g = 10 m/s 2
ઉકેલ
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ (g) = 10 m/s 2
પદાર્થની ઘનતા = 2000 કિગ્રા/મીટર 3
પાણીની ઘનતા = 1000 કિગ્રા/મીટર 3
હવામાં પદાર્થનું વજન = 5000 કિગ્રા m/s 2
પાણીમાં પદાર્થનું વજન = 4000 કિગ્રા m/s 2
ઉછાળા બળ (F ઉછાળા) = હવામાં પદાર્થનું વજન - પાણીમાં પદાર્થનું વજન
F ઉછાળો = 5000 કિગ્રા મી/સેકન્ડ 2 – 4000 કિગ્રા મી/સેકન્ડ 2
F ઉછાળો = 1000 કિગ્રા m/s 2
F ઉછાળો = વિસ્થાપિત પાણીનું વજન
F ઉછાળો = (પાણીનું દળ)(g)
F ઉછાળો = (વિસ્થાપિત પાણીનું પ્રમાણ)(પાણીની ઘનતા)(g)
વિસ્થાપિત પાણીનું કદ = પાણીમાં પદાર્થનું કદ
પદાર્થનું કદ = 0.1 મીટર 3
પદાર્થનું દળ = ?
ρ = m/V
મી = ρ વી
m = (2000 kg/m 3 )(0.1 m 3 )
m = 200 કિગ્રા
પદાર્થનું દળ = 200 કિલો
ઉદાહરણ સમસ્યા ૧:
જો ફુગ્ગાને 500 કિલો વજન ઉપાડવું પડે તો કેટલા જથ્થાના હિલીયમની જરૂર પડે?
ઉકેલ:
હિલીયમની ઘનતા = 0.1786 કિગ્રા/મીટર 3
હવાની ઘનતા = 1.293 કિગ્રા/મીટર 3
ઉછાળા બળ = વિસ્થાપિત હવાનું વજન = પદાર્થનું વજન + હિલીયમનું વજન
ઉછાળા બળ = પદાર્થનું વજન + હિલીયમનું વજન
ઉછાળા બળ = (ભારનું દળ)(g) + (હિલીયમનું દળ)(g)
ઉછાળા બળ = (ભારનું દળ + હિલીયમનું દળ) ગ્રામ —- સમીકરણ 1
ઉછાળા બળ = વિસ્થાપિત હવાનું વજન
ઉછાળા બળ = (વિસ્થાપિત હવાનું દળ)(g) —- સમીકરણ 2
આપણે સમીકરણ 1 અને સમીકરણ 2 ને જોડીએ છીએ:
(ભારનું દળ + હિલીયમનું દળ)(g) = (વિસ્થાપિત થયેલ હવાનું દળ)(g)
ભારનું દળ + હિલીયમનું દળ = વિસ્થાપિત હવાનું દળ
૫૦૦ કિલોગ્રામ + (ρ હિલીયમ)(V હિલીયમ) = (ρ પાણી)(V પાણી)
૫૦૦ કિગ્રા = (ρ પાણી)(V પાણી) – (ρ હિલીયમ)(V હિલીયમ)
વિસ્થાપિત હવાનું કદ (V હવા) = ફુગ્ગામાં હિલીયમનું કદ (V હિલીયમ)
500 કિગ્રા = (ρ પાણી - ρ હિલીયમ) (V)
પૃથ્વીની સપાટી પર વજન ઉપાડવા માટે આ હિલીયમનું ન્યૂનતમ પ્રમાણ છે. ફુગ્ગાને વધુ ઊંચે તરતો રાખવા માટે, હિલીયમનું પ્રમાણ ઉમેરવું જરૂરી છે. ઊંચાઈ સાથે હવાની ઘનતા ઘટતી હોવાથી હિલીયમનું પ્રમાણ વધારવું પડે છે.
