દ્વિપદી વિતરણનું અપેક્ષિત મૂલ્ય
દ્વિપદી વિતરણ એ આંકડા અને સંભાવનામાં સૌથી સામાન્ય રીતે જોવા મળતા અલગ સંભાવના વિતરણોમાંનું એક છે. આ વિતરણ સ્વતંત્ર દ્વિપદી પરીક્ષણોની શ્રેણીમાં સફળતાઓની સંખ્યાનું વર્ણન કરે છે (ફક્ત બે પરિણામો સાથેના પરીક્ષણો: સફળતા અથવા નિષ્ફળતા). દ્વિપદી વિતરણને વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, અપેક્ષિત મૂલ્યની વિભાવનાને સમજવી મહત્વપૂર્ણ છે, જે લાંબા ગાળે પુનરાવર્તિત પરીક્ષણોની શ્રેણીના સરેરાશ મૂલ્યનું વર્ણન કરે છે. આ લેખ દ્વિપદી વિતરણના સંદર્ભમાં અપેક્ષિત મૂલ્યની વિભાવનાની સમીક્ષા કરશે.
દ્વિપદી વિતરણની વ્યાખ્યા
દ્વિપદી વિતરણ એવા સંદર્ભોમાં ઉદ્ભવે છે જ્યાં આપણે સંખ્યાબંધ સમાન અને સ્વતંત્ર ટ્રાયલ કરીએ છીએ, અને દરેક ટ્રાયલના બે પરસ્પર વિશિષ્ટ પરિણામો હોય છે, જેને સામાન્ય રીતે "સફળતા" અને "નિષ્ફળતા" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સિક્કો ઉછાળવો (માથા અથવા પૂંછડી), પરીક્ષાના પ્રશ્નનો જવાબ આપવો (સાચું કે ખોટું), અથવા તબીબી ટ્રાયલ (સાજ થયો કે નહીં).
દ્વિપદી વિતરણ બે પરિમાણો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
– n , ટ્રાયલ્સની સંખ્યા.
– p , દરેક અજમાયશમાં સફળતાની સંભાવના.
સામાન્ય રીતે કહીએ તો, જો X એ n ટ્રાયલ્સમાં સફળતાઓની સંખ્યા દર્શાવતો રેન્ડમ ચલ છે, તો X એ n અને p પરિમાણો સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે, જેને X ~ દ્વિપદી(n, p) તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.
સંભાવના કાર્ય
દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના કાર્ય નીચે મુજબ છે:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
ક્યાં:
– \( \binom{n}{k} \) એ દ્વિપદી ગુણાંક છે, જેની ગણતરી \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) તરીકે થાય છે.
– \( k \) એ સફળતાઓની ઇચ્છિત સંખ્યા છે.
– \( n \) એ ટ્રાયલ્સની સંખ્યા છે.
– \( p \) એ દરેક અજમાયશમાં સફળતાની સંભાવના છે.
– \( (1-p) \) એ દરેક અજમાયશમાં નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
અપેક્ષિત મૂલ્ય
સંભાવના વિતરણનું અપેક્ષિત મૂલ્ય અથવા સરેરાશ એ કેન્દ્રીય સ્થાનના સૌથી મહત્વપૂર્ણ માપદંડોમાંનું એક છે. દ્વિપદી વિતરણ માટે, દ્વિપદી(n, p) ને અનુસરતા રેન્ડમ ચલ X નું અપેક્ષિત મૂલ્ય છે:
\[ ઇ(એક્સ) = એનપી \]
અપેક્ષિત મૂલ્યનો પુરાવો
દ્વિપદી વિતરણનું અપેક્ષિત મૂલ્ય np કેમ છે તે સમજવા માટે, આપણે અપેક્ષિત મૂલ્યના રેખીયતા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ અને જોઈ શકીએ છીએ કે દ્વિપદી ચલો તેમના યોગદાનમાં કેવી રીતે ઉમેરે છે.
ચાલો \( X \) ને n દ્વિસંગી ટ્રાયલ્સમાં સફળતાઓની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, ચાલો \( X_i \) એ i-th ટ્રાયલના પરિણામને દર્શાવતો રેન્ડમ ચલ હોય, જો i-th ટ્રાયલ સફળ હોય તો \( X_i = 1 \) અને જો તે નિષ્ફળ હોય તો \( X_i = 0 \). પછી, આપણે \( X \) ને આ રીતે લખી શકીએ છીએ:
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
દરેક \( X_i \) એક દ્વિસંગી ચલ છે જેમાં સફળતા p ની સંભાવના છે, તેથી \( X_i \) નું અપેક્ષિત મૂલ્ય છે:
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
આપણે X ના અપેક્ષિત મૂલ્ય માટે અપેક્ષિત મૂલ્યના રેખીયતા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
\[ ઇ(એક્સ) = ઇ(એક્સ_1 + એક્સ_2 + \લડોટ્સ + એક્સ_એન) \]
\[ ઇ(એક્સ) = ઇ(એક્સ_1) + ઇ(એક્સ_2) + \લડોટ્સ + ઇ(એક્સ_એન) \]
\[ ઇ(એક્સ) = પી + પી + \એલડીઓટીએસ + પી \]
\[ ઇ(એક્સ) = એનપી \]
આ દર્શાવે છે કે દ્વિપદી વિતરણનું અપેક્ષિત મૂલ્ય np છે.
ઉદાહરણરૂપ ઉદાહરણ
એક કેસનો વિચાર કરો જ્યાં આપણે એક વાજબી સિક્કો ૧૦ વાર ઉછાળીએ છીએ. ચાલો પૂછીએ કે હેડમાં પરિણમતા ફ્લિપ્સની સંખ્યાનું અપેક્ષિત મૂલ્ય શું હશે.
આ કિસ્સામાં:
– n = 10 (સિક્કા ઉછાળવાની સંખ્યા)
– p = 0.5 (સિક્કો વાજબી હોવાથી હેડ મળવાની સંભાવના)
તેથી, અપેક્ષિત મૂલ્ય છે:
\[ E(X) = np = 10 \ગુણા 0.5 = 5 \]
આનો અર્થ એ થયો કે જો આપણે લાંબા ગાળે એક સિક્કો 10 વખત વારંવાર ઉછાળીએ, તો સરેરાશ આપણને 5 વખત માથા મળશે.
ભિન્નતા અને માનક વિચલન
અપેક્ષિત મૂલ્ય ઉપરાંત, દ્વિપદી વિતરણના ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલનને સમજવું પણ મહત્વપૂર્ણ છે.
દ્વિપદી વિતરણ માટે, ભિન્નતા \( \sigma^2 \) અને પ્રમાણભૂત વિચલન \( \sigma \) નીચે મુજબ છે:
\[ \સિગ્મા^2 = np(1-p) \]
\[ \સિગ્મા = \sqrt{np(1-p)} \]
ભિન્નતા માપે છે કે ડેટા અપેક્ષિત મૂલ્યથી કેટલો દૂર ફેલાયેલો છે. પ્રમાણભૂત વિચલન એ ભિન્નતાનું વર્ગમૂળ છે અને ડેટાના ફેલાવાને પણ માપે છે, પરંતુ મૂળ ડેટા જેવા જ એકમોમાં.
કેસિમ્પુલન
દ્વિપદી વિતરણ એ આંકડાશાસ્ત્ર અને સંભાવનામાં એક મૂળભૂત ખ્યાલ છે, જેનો વારંવાર વાસ્તવિક દુનિયાના વિવિધ કાર્યક્રમોમાં, વ્યવસાયથી લઈને સામાજિક વિજ્ઞાન અને જીવવિજ્ઞાન સુધી, સામનો કરવો પડે છે. દ્વિપદી વિતરણનું અપેક્ષિત મૂલ્ય, np તરીકે ગણવામાં આવે છે, જે દ્વિપદી પરીક્ષણોની શ્રેણીમાં સફળતાઓની સરેરાશ સંખ્યા વિશે મહત્વપૂર્ણ સમજ પૂરી પાડે છે. અપેક્ષિત મૂલ્ય, ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલનની વિભાવનાઓને સમજીને, આપણે દ્વિપદી વિતરણની લાક્ષણિકતાઓ અને તે રોજિંદા જીવનમાં ચોક્કસ ઘટનાઓનું વર્ણન કેવી રીતે કરે છે તેની સ્પષ્ટ સમજ મેળવી શકીએ છીએ.
આ જ્ઞાન માત્ર ડેટા વિશ્લેષણ અને આંકડાશાસ્ત્રમાં જ નહીં, પરંતુ સંભાવના અને અનિશ્ચિતતાનું મૂલ્યાંકન કરવાની જરૂર હોય તેવા નિર્ણય લેવામાં પણ અત્યંત ઉપયોગી છે. અપેક્ષિત મૂલ્ય અને દ્વિપદી વિતરણને સમજવાથી આપણને વધુ સચોટ આગાહીઓ કરવામાં અને વધુ જાણકાર નિર્ણયો લેવામાં મદદ મળી શકે છે.
