કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ જણાવ્યું હતું કે જો બળનો પરિણામી ક્ષણ ફરતી કઠોર વસ્તુમાં મૂલ્ય શૂન્ય હોય તો કોણીય વેગમાન સતત પરિભ્રમણ ગતિમાં રહેલો કઠોર પદાર્થ. કોણીય વેગના સંરક્ષણના નિયમ માટેનું સૂત્ર ગાણિતિક રીતે ન્યુટનના કોણીય વેગ માટે ગતિના બીજા નિયમના સૂત્રમાં ફેરફાર કરીને મેળવી શકાય છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમનું આ કોણીય વેગમાન સંસ્કરણ સૂત્રનું પરિભ્રમણ સામ્ય છે ન્યૂટનના બીજા નિયમ વેગનું સંસ્કરણ.
જો પરિણામી બળનો ક્ષણ શૂન્ય હોય, તો ઉપરોક્ત સૂત્ર આમાં બદલાય છે:
માહિતી:
સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ:
1. પરિભ્રમણ ગતિમાં રહેલા કણમાં 4 kg m ની જડતાનો ક્ષણ હોય છે2 અને કોણીય વેગ 2 rad/s. જો કણનો કોણીય વેગ 4 rad/s થાય છે, તો કણની જડતાની ક્ષણ બદલાય છે...
ચર્ચા
ડિકેતાહુઈ :
જડતાની પ્રારંભિક ક્ષણ = 4 કિલોગ્રામ મીટર2
પ્રારંભિક કોણીય વેગ = 2 રેડિયન/સેકન્ડ
અંતિમ કોણીય ગતિ = 4 રેડિયન/સેકન્ડ
પૂછ્યું : જડતાની અંતિમ ક્ષણ?
જવાબ :
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે:
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન (Lo) = અંતિમ કોણીય વેગમાન (Lt)
(જડતાનો પ્રારંભિક ક્ષણ)(પ્રારંભિક કોણીય ગતિ) = (જડતાનો અંતિમ ક્ષણ)(અંતિમ કોણીય ગતિ)
(4 કિગ્રા મી2)(2 rad/s) = (જડતાની અંતિમ ક્ષણ)(4 rad/s)
જડતાની અંતિમ ક્ષણ = 2 કિગ્રા મીટર2
2. 2 કિલો વજન ધરાવતો કણ પરિભ્રમણની ધરીની આસપાસ 2 મીટરના અંતરેથી 2 રેડિયન/સેકન્ડની કોણીય ગતિથી ફરે છે. જો પરિભ્રમણની ધરીથી કણનું અંતર 1 મીટર થાય, તો કણની કોણીય ગતિ નક્કી કરો!
ચર્ચા
ડિકેતાહુઈ :
કણનું દળ = 2 કિલો
પરિભ્રમણ ધરીથી કણનું અંતર (1) = 2 મીટર
પ્રારંભિક કોણીય વેગ = 2 રેડિયન/સેકન્ડ
પરિભ્રમણ ધરીથી કણનું અંતર (2) = 1 મીટર
પૂછ્યું : અંતિમ કોણીય વેગ ?
જવાબ :
કણના જડતા (I) ના ક્ષણની ગણતરી કરો
જડતાની પ્રારંભિક ક્ષણ (I અવલ) :
I અવલ = શ્રી.2 = (2 કિગ્રા)(2 મીટર)2 = (૪ કિલો)(૦.૦૧ મીટર2) = 8 કિગ્રા મીટર2
જડતાનો અંતિમ ક્ષણ (I અખિર) :
I અખિર = શ્રી.2 = (2 કિલો)(1 મીટર)2 = (2 કિલો)(1 મીટર2) = 2 કિગ્રા મીટર2
અંતિમ કોણીય વેગની ગણતરી કરો
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ :
પ્રારંભિક કોણીય વેગ = અંતિમ કોણીય વેગ
(જડતાનો પ્રારંભિક ક્ષણ)(પ્રારંભિક કોણીય ગતિ) = (જડતાનો અંતિમ ક્ષણ)(અંતિમ કોણીય ગતિ)
(8 કિગ્રા મી2)(2 રેડિયન/સેકન્ડ) = (2 કિગ્રા મીટર2)(અંતિમ કોણીય વેગ)
અંતિમ કોણીય ગતિ = 8 રેડિયન/સેકન્ડ
3. એક સમાન ઘન નળાકાર ડિસ્ક શરૂઆતમાં તેની ધરી પર 4 રેડિયન/સેકન્ડની કોણીય ગતિથી ફરે છે. ડિસ્કનું દળ અને ત્રિજ્યા 1 કિલો અને 0,5 મીટર છે. જ્યારે ડિસ્ક ફરતી હોય છે, ત્યારે ડિસ્કની ટોચ પર 0,2 કિલો અને 0,1 મીટરના દળ અને ત્રિજ્યા સાથે એક રિંગ મૂકવામાં આવે છે જેથી ડિસ્ક અને રિંગ એકસાથે ફરે. રિંગનું કેન્દ્ર ડિસ્કના કેન્દ્રની સીધી ઉપર હોય છે. ડિસ્ક અને રિંગની કોણીય ગતિ નક્કી કરો!
ચર્ચા
ડિકેતાહુઈ :
પ્રારંભિક કોણીય ગતિ = ઘન સિલિન્ડરની કોણીય ગતિ = 4 rad/s
ઘન નળાકારનું દળ = 1 કિલો
ઘન નળાકારનો ત્રિજ્યા = 0,5 મીટર
રિંગનું વજન = 0,2 કિગ્રા
રિંગની ત્રિજ્યા = 0,1 મીટર
પૂછ્યું : અંતિમ કોણીય ગતિ = રિંગ અને ઘન સિલિન્ડરની કોણીય ગતિ?
જવાબ :
એક સમાન ઘન સિલિન્ડરના જડતાના ક્ષણ માટેનું સૂત્ર = I = ½ mr2
રિંગના જડત્વના ક્ષણ માટેનું સૂત્ર = I = mr2
જડતાની પ્રારંભિક ક્ષણ = ઘન સિલિન્ડરની જડતાની ક્ષણ:
હું = ½ મિસ્ટર2 = ½ (1 કિલો)(0,5 મીટર)2 = (૪ કિલો)(૦.૦૧ મીટર2) = 0,125 કિગ્રા મીટર2
જડતાની અંતિમ ક્ષણ = ઘન નળાકારની જડતાની ક્ષણ + રિંગની જડતાની ક્ષણ:
રિંગની જડતાની ક્ષણ = I = શ્રી2 = (0,2 કિગ્રા)(0,1 મીટર)2 = (૪ કિલો)(૦.૦૧ મીટર2) = 0,002 કિગ્રા મીટર2
જડતાની અંતિમ ક્ષણ = 0,125 કિગ્રા મીટર2 + 0,002 કિગ્રા મી2 = 0,127 કિલોગ્રામ મીટર2
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ :
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન (Lo) = અંતિમ કોણીય વેગમાન (Lt)
(જડતાનો પ્રારંભિક ક્ષણ)(પ્રારંભિક કોણીય ગતિ) = (જડતાનો અંતિમ ક્ષણ)(અંતિમ કોણીય ગતિ)
(0,125 કિગ્રા મી2)(4 રેડિયન/સેકન્ડ) = (0,127 કિગ્રા મીટર2)(અંતિમ કોણીય વેગ)
૮ કિલો મીટર2/s = (0,127 કિગ્રા મીટર2)(અંતિમ કોણીય વેગ)
અંતિમ કોણીય ગતિ = 0,5 / 0,127
અંતિમ કોણીય ગતિ = 4 રેડિયન/સેકન્ડ
