કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં દ્વિ-પરિમાણીય વેક્ટરની ચર્ચા કરતા ઉદાહરણ પ્રશ્નો
વેક્ટર એ એક એવો જથ્થો છે જેનું મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે. વિવિધ ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના વિષયોમાં વિવિધ ઘટનાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે વેક્ટરનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. આ લેખમાં, આપણે કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં દ્વિ-પરિમાણીય વેક્ટરના ઉદાહરણોની ચર્ચા કરીશું.
કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ્સમાં વેક્ટર્સના મૂળભૂત ખ્યાલો
દ્વિ-પરિમાણીય સંકલન પ્રણાલીમાં વેક્ટરને \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં \(a_1\) એ વેક્ટરનો x-ઘટક છે અને \(a_2\) એ વેક્ટરનો y-ઘટક છે. વેક્ટરને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, એટલે કે x-ઘટક અને y-ઘટક.
વેક્ટર સરવાળો અને બાદબાકી
બે સદિશો \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) અને \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) નો સરવાળો છે:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
જ્યારે ઘટાડો આ પ્રમાણે છે:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
સ્કેલર ગુણાકાર
જો \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) અને \(k\) એક સ્કેલર હોય, તો \(k\vec{A}\) એ છે:
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]
વેક્ટર મેગ્નિટ્યુડ
વેક્ટર \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ની તીવ્રતા અથવા લંબાઈ છે:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
યુનિટ વેક્ટર
એકમ વેક્ટર એ એકમ લંબાઈનો વેક્ટર છે. \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) નો એકમ વેક્ટર છે:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \જમણે)
\]
નમૂના પ્રશ્નો અને ચર્ચા
પ્રશ્ન ૧: વેક્ટરનો સરવાળો અને બાદબાકી
નીચે મુજબ બે સદિશો આપવામાં આવ્યા છે: \(\vec{A} = (3, 4)\) અને \(\vec{B} = (1, 2)\). \(\vec{A} + \vec{B}\) અને \(\vec{A} – \vec{B}\) નો ગુણાકાર શોધો.
ચર્ચા:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
પ્રશ્ન ૨: સ્કેલર ગુણાકાર
વેક્ટર \(\vec{C} = (2, -3)\) આપેલ છે, \(3\vec{C}\) અને \(-2\vec{C}\) ની ગણતરી કરો.
ચર્ચા:
\[
૩\vec{C} = ૩ \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
પ્રશ્ન ૩: વેક્ટર મેગ્નિટ્યુડ
વેક્ટર \(\vec{D} = (5, 12)\) ની તીવ્રતાની ગણતરી કરો.
ચર્ચા:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
પ્રશ્ન ૪: યુનિટ વેક્ટર્સ
વેક્ટર \(\vec{E} = (4, 3)\) નો એકમ વેક્ટર શોધો.
ચર્ચા:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\ટોપી{E} = \ફ્રેક{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \ડાબે( \ફ્રેક{4}{5}, \frac{3}{5} \જમણે)
\]
પ્રશ્ન ૫: વેક્ટરનું સ્થાન અને અંતર
દ્વિ-પરિમાણીય કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં બે બિંદુઓ P(2, 3) અને Q(5, 7) છે. બિંદુ P થી બિંદુ Q સુધીના સ્થાન વેક્ટર અને તેમની વચ્ચેનું અંતર નક્કી કરો.
ચર્ચા:
P થી Q સુધીનો પોઝિશન વેક્ટર છે:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
બિંદુ P અને Q વચ્ચેનું અંતર છે:
\[
|\vec{PQ} | = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
પ્રશ્ન ૬: ડોટ પ્રોડક્ટ પરિણામ
જો \(\vec{F} = (-3, 4)\) અને \(\vec{G} = (2, 1)\), તો \(\vec{F} \cdot \vec{G}\) ના ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરો.
ચર્ચા:
બે વેક્ટરનો ડોટ ગુણાંક છે:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
પ્રશ્ન 7: બે વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો
જો \(\vec{H} = (7, -4)\) અને \(\vec{I} = (3, 0)\), તો બે વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો નક્કી કરો.
ચર્ચા:
બે વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો નક્કી કરવા માટે, આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
પ્રથમ, ડોટ ગુણાંક \(\vec{H} \cdot \vec{I}\) ની ગણતરી કરો:
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
પછી, \(\vec{H}\) અને \(\vec{I}\) ના મૂલ્યોની ગણતરી કરો:
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
સૂત્રમાં આ મૂલ્યો દાખલ કરો:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
તો, \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).
પ્રશ્ન ૮: વેક્ટર પ્રોજેક્શન
\(\vec{J} = (2, 1)\) અને \(\vec{K} = (-1, 3)\) વેક્ટર માટે, \(\vec{J}\) ના \(\vec{K}\) પરના પ્રક્ષેપણની ગણતરી કરો.
ચર્ચા:
\(\vec{J}\) નું \(\vec{K}\) પર પ્રક્ષેપણ છે:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \right) \vec{K}
\]
પ્રથમ, ડોટ ગુણાંક \(\vec{J} \cdot \vec{K}\) ની ગણતરી કરો:
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
પછી, \(\vec{K}\) નું મૂલ્ય:
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
જેથી,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
સૂત્રમાં દાખલ કરો:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
આ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં દ્વિ-પરિમાણીય વેક્ટર્સ સંબંધિત સમસ્યાઓ અને ચર્ચાઓના ઉદાહરણો છે. વેક્ટર્સની સારી સમજ ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને એન્જિનિયરિંગના ઘણા ઉપયોગોમાં મદદરૂપ થઈ શકે છે. વિવિધ ઉદાહરણો સાથે પ્રેક્ટિસ કરવાથી આ ખ્યાલની તમારી સમજ વધુ ગહન બની શકે છે, જેનાથી તે વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં અસરકારક રીતે લાગુ થઈ શકે છે.
