ગ્રુપ ડેટાના ટકાવારીની ચર્ચા કરતા પ્રશ્નોનું ઉદાહરણ
ટકાવારી એ આંકડાશાસ્ત્રમાં સ્થાનનું માપ છે જેનો ઉપયોગ ડેટા વિતરણને સમજવા માટે થાય છે. આ લેખમાં, આપણે જૂથબદ્ધ ડેટા માટે ટકાવારી કેવી રીતે નક્કી કરવી તેની વિગતવાર ચર્ચા કરીશું. આ ખ્યાલને સ્પષ્ટ કરવા માટે આપણે કેટલીક ઉદાહરણ સમસ્યાઓ અને તેમના ખુલાસાઓનો સમાવેશ કરીશું. ચાલો ટકાવારીની મૂળભૂત સમજથી શરૂઆત કરીએ અને પછી ઉદાહરણો અને તેમના ખુલાસાઓ તરફ આગળ વધીએ.
ટકાવારી સમજવી
પર્સેન્ટાઇલ એ એક મૂલ્ય છે જે ડેટાને 100 સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે. એટલે કે, nમો પર્સેન્ટાઇલ એ મૂલ્ય છે જેની નીચે વિતરણમાં ડેટાનો n% આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ડેટામાં 25મો પર્સેન્ટાઇલ (P25) હોય, તો તેનો અર્થ એ કે 25% ડેટા તે મૂલ્યથી નીચે આવે છે.
જૂથબદ્ધ ડેટામાં, આપણે ઘણીવાર ડેટા ગોઠવવા અને પછી સંબંધિત ટકાવારી નક્કી કરવા માટે આવર્તન વિતરણ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આ કોષ્ટકો ચોક્કસ વર્ગ અંતરાલોમાં ડેટા રજૂ કરે છે, જે આપણને ડેટા વિતરણને વધુ વ્યાપક રીતે સમજવાની મંજૂરી આપે છે.
ગ્રુપ ડેટામાં પર્સન્ટાઇલ ફોર્મ્યુલા
જૂથ ડેટામાં nમો ટકાવારી (Pn) નક્કી કરવા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
\[
P_n = L + \left( \frac{nN – \sum f_{\text{before}}}{f_{k}} \right) \times c
\]
ક્યાં:
– \(P_n\) એ nમો ટકાવારી છે.
– \(L\) એ ટકાવારી વર્ગ અંતરાલની નીચલી ધાર છે.
– \(n\) એ ઇચ્છિત ટકાવારી છે (દા.ત., P25 માટે, n = 25).
– \(N\) એ સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝની કુલ સંખ્યા છે.
– \(\sum f_{\text{before}}\) એ ટકાવારી વર્ગ અંતરાલ પહેલાની સંચિત આવર્તન છે.
– \(f_{k}\) એ ટકાવારી વર્ગ અંતરાલની આવૃત્તિ છે.
– \(c\) એ વર્ગ અંતરાલની લંબાઈ છે.
સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ
વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો નીચેના ઉદાહરણ પ્રશ્ન જોઈએ અને તેની વિગતવાર ચર્ચા કરીએ.
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૨
એક સર્વેક્ષણમાં, ૧૦મા ધોરણના ૧૦૦ ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈ (સે.મી.માં) અંગે નીચે મુજબ માહિતી મેળવવામાં આવી હતી:
| વર્ગ અંતરાલ | આવર્તન |
|——————-|———–|
| ૧૫૫ – ૧૫૯ | ૮ |
| ૧૫૫ – ૧૫૯ | ૮ |
| ૧૮૦ – ૧૮૪ | ૧૦ |
| ૧૮૦ – ૧૮૪ | ૧૦ |
| ૧૮૦ – ૧૮૪ | ૧૦ |
| ૧૮૦ – ૧૮૪ | ૧૦ |
| ૧૮૦ – ૧૮૪ | ૧૦ |
ડેટાના 40મા પર્સેન્ટાઇલ (P40) ની ગણતરી કરો.
ઉકેલવાનાં પગલાં
1. દરેક વર્ગ માટે સંચિત આવર્તન નક્કી કરો:
| વર્ગ અંતરાલ | આવર્તન | સંચિત આવર્તન |
|——————-|————–|————————|
| ૧૫૦ – ૧૫૪ | ૫ | ૫ |
| ૧૫૫ – ૧૫૯ | ૮ | ૧૩ |
| ૧૭૫ – ૧૭૯ | ૧૫ | ૯૦ |
| ૧૭૫ – ૧૭૯ | ૧૫ | ૯૦ |
| ૧૭૫ – ૧૭૯ | ૧૫ | ૯૦ |
| ૧૭૫ – ૧૭૯ | ૧૫ | ૯૦ |
| ૧૮૦ – ૧૮૪ | ૧૦ | ૧૦૦ |
2. ટકાવારી વર્ગ અંતરાલ (P40) ઓળખો:
આપણે P40 શોધી રહ્યા હોવાથી, આપણને 100 વિદ્યાર્થીઓમાંથી 40% ની જરૂર છે, જે 40 વિદ્યાર્થીઓ છે. સંચિત આવર્તન કોષ્ટક જોતાં, આપણને જાણવા મળે છે કે 40 વિદ્યાર્થીઓ વર્ગ અંતરાલ 165 - 169 સેમીમાં છે કારણ કે 45 એ પ્રથમ સંચિત આવર્તન છે જે 40 થી વધુ છે.
3. સૂત્રમાં જરૂરી મૂલ્યો શોધો:
– \(લ = ૧૬૪.૫\)
– \(nN = 40\)
– \(\સરવાળો f_{\ટેક્સ્ટ{પહેલાં}} = 25\)
– \(f_k = 20\)
– \(c = 5\)
4. સૂત્રમાં મૂલ્યો દાખલ કરો:
\[
P_{40} = 164.5 + \left( \frac{40 – 25}{20} \right) \ગુણા 5
\]
\[
P_{40} = 164.5 + \left( \frac{15}{20} \right) \ગુણા 5
\]
\[
P_{40} = 164.5 + 0.75 \ગુણા 5
\]
\[
P_{40} = 164.5 + 3.75
\]
\[
P_{40} = 168.25
\]
તેથી, ડેટાનો 40મો પર્સેન્ટાઇલ (P40) 168.25 સેમી છે.
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૨
ધારો કે 200 વિદ્યાર્થીઓના જૂથમાંથી ગણિતની પરીક્ષાના સ્કોરનો ડેટા છે:
| વર્ગ અંતરાલ | આવર્તન |
|——————-|———–|
| ૭૦ – ૭૪ | ૧૨ |
| ૭૦ – ૭૪ | ૧૨ |
| ૭૦ – ૭૪ | ૧૨ |
| ૭૦ – ૭૪ | ૧૨ |
| ૭૦ – ૭૪ | ૧૨ |
| ૭૦ – ૭૪ | ૧૨ |
| ૭૦ – ૭૪ | ૧૨ |
| ૦ – ૧૦ | ૫ |
ડેટાના 75મા પર્સેન્ટાઇલ (P75) ની ગણતરી કરો.
ઉકેલવાનાં પગલાં
1. દરેક વર્ગ માટે સંચિત આવર્તન નક્કી કરો:
| વર્ગ અંતરાલ | આવર્તન | સંચિત આવર્તન |
|——————-|————–|————————|
| ૫૦ – ૫૪ | ૩૨ | ૬૦ |
| ૫૦ – ૫૪ | ૩૨ | ૬૦ |
| ૫૦ – ૫૪ | ૩૨ | ૬૦ |
| ૭૦ – ૭૪ | ૧૨ | ૧૯૨ |
| ૭૦ – ૭૪ | ૧૨ | ૧૯૨ |
| ૭૦ – ૭૪ | ૧૨ | ૧૯૨ |
| ૭૦ – ૭૪ | ૧૨ | ૧૯૨ |
| ૭૫ – ૭૯ | ૮ | ૨૦૦ |
2. ટકાવારી વર્ગ અંતરાલ (P75) ઓળખો:
આપણે P75 શોધી રહ્યા હોવાથી, આપણને 200 વિદ્યાર્થીઓમાંથી 75% ની જરૂર છે, જે 150 વિદ્યાર્થીઓ છે. સંચિત આવર્તન જોતાં, આપણને જાણવા મળે છે કે 150 વિદ્યાર્થીઓ વર્ગ અંતરાલ 60 - 64 માં આવે છે.
3. જરૂરી મૂલ્યો શોધો:
– \(લ = ૧૬૪.૫\)
– \(nN = 150\)
– \(\સરવાળો f_{\ટેક્સ્ટ{પહેલાં}} = 105\)
– \(f_k = 50\)
– \(c = 5\)
4. સૂત્રમાં મૂલ્યો દાખલ કરો:
\[
P_{75} = 59.5 + \left( \frac{150 – 105}{50} \right) \ગુણા 5
\]
\[
P_{75} = 59.5 + \left( \frac{45}{50} \right) \ગુણા 5
\]
\[
P_{75} = 59.5 + 0.9 \ગુણા 5
\]
\[
P_{75} = 59.5 + 4.5
\]
\[
P_{75} = 64
\]
તો, ડેટાનો 75મો પર્સેન્ટાઇલ (P75) 64 છે.
કેસિમ્પુલન
આ લેખમાં, અમે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને જૂથબદ્ધ ડેટા માટે ટકાવારી કેવી રીતે નક્કી કરવી અને કેટલીક ઉદાહરણ સમસ્યાઓની ચર્ચા કરી છે. ડેટા વિતરણને સમજવા અને ડેટા મૂલ્યોની સંબંધિત સ્થિતિ નક્કી કરવા માટે ટકાવારી આંકડાશાસ્ત્રમાં એક ઉપયોગી સાધન છે. જૂથબદ્ધ ડેટામાં ટકાવારી કેવી રીતે ગણતરી કરવી તે સમજીને, આપણે ડેટાનું વધુ વ્યાપક વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ. અમને આશા છે કે આ ઉદાહરણ સમસ્યાઓ અને ચર્ચાએ તમને જૂથબદ્ધ ડેટામાં ટકાવારીનો ખ્યાલ વધુ સારી રીતે સમજવામાં મદદ કરી હશે.
