વર્તુળ પર સ્પર્શક રેખાના સમીકરણ પર ચર્ચા પ્રશ્નનું ઉદાહરણ

વર્તુળ સાથે સ્પર્શક રેખાના સમીકરણની ચર્ચા કરતા ઉદાહરણ પ્રશ્નો

પેન્ડાહુલુઆન
વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં વર્તુળના સ્પર્શકનું સમીકરણ એક મહત્વપૂર્ણ વિષય છે. વર્તુળના સ્પર્શકનું સમીકરણ કેવી રીતે નક્કી કરવું તે સમજવાથી મધ્યવર્તીથી અદ્યતન સ્તરો પર વિવિધ પ્રકારના ગાણિતિક પ્રશ્નો ઉકેલવામાં મદદ મળી શકે છે. આ લેખમાં વર્તુળના સ્પર્શકનું સમીકરણ નક્કી કરવા માટેની વિવિધ ઉદાહરણો સમસ્યાઓ અને પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરવામાં આવશે.

વ્યાખ્યા અને મૂળભૂત સિદ્ધાંત
કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં એક વર્તુળ સામાન્ય રીતે ચતુર્ભુજ સમીકરણ દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
જ્યાં \((a, b)\) એ વર્તુળનું કેન્દ્રબિંદુ છે અને \(r\) એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

બાહ્ય બિંદુથી વર્તુળને સ્પર્શક એ એક રેખા છે જે વર્તુળને બરાબર એક બિંદુએ સ્પર્શે છે. જો આપણે ધારીએ કે રેખાનું સમીકરણ છે:
\[ y = mx + c \]
તો પછી રેખા \(y = mx + c\) વર્તુળને સ્પર્શક હશે તે સ્થિતિ નીચેના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
જ્યાં \(m\) એ સ્પર્શક રેખાનો ઢાળ છે અને \(c\) એક સ્થિરાંક છે.

સ્પર્શરેખા સમીકરણ સૂત્ર
કેન્દ્ર \((0,0)\) અને ત્રિજ્યા \(r\) ધરાવતા વર્તુળના સ્પર્શક માટે, વર્તુળ પર બિંદુ \((x_1, y_1)\) પર તેનું સમીકરણ છે:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
પરંતુ જો વર્તુળનું કેન્દ્ર બિંદુ \((a, b)\) પર હોય, તો સમીકરણ છે:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]

નમૂના પ્રશ્નો અને ચર્ચાઓ

પ્રશ્ન ૧
\((3, 4)\) પર કેન્દ્ર અને 5 એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ. બિંદુ \((6, 8)\) પરથી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ શોધો.

ચર્ચા:
આ સમસ્યામાં, આપણને \((3, 4)\ ના કેન્દ્ર સાથે એક વર્તુળ આપવામાં આવ્યું છે, જેની ત્રિજ્યા 5 છે, અને આપણે \((6, 8)\ બિંદુથી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ શોધવું જોઈએ. તેને ઉકેલવા માટેના પગલાં અહીં છે:

1. ચકાસો કે બિંદુ \((6, 8)\) વર્તુળની અંદર નથી: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
તો બિંદુ વર્તુળ પર છે તેથી તેનો ઉપયોગ સ્પર્શક રેખા શોધવા માટે થઈ શકે છે.

2. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]

3. સમીકરણને સરળ બનાવો:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]

4. વિકાસ કરો:
\[
૩x – ૯ + ૪y – ૧૬ = ૨૫
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]

મેળવેલ સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ છે:
\[
3x + 4y = 50
\]

પ્રશ્ન ૧
સમીકરણ \[x^2 + y^2 = 16\] ધરાવતું વર્તુળ. બિંદુ \((4, 0)\) પરથી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ નક્કી કરો.

ચર્ચા:
એક વર્તુળ જેનું કેન્દ્ર \((0, 0)\) અને ત્રિજ્યા 4 એકમ છે. આપેલ બાહ્ય બિંદુ \((4, 0)\) છે.

1. કેન્દ્ર \((0, 0)\) ધરાવતા વર્તુળ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]

2. મૂલ્ય અવેજી:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]

3. સરળ બનાવો:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]

જેનો અર્થ એ થાય કે, આપણી પાસે જે સ્પર્શક સમીકરણ છે તે છે:
\[
x = 4
\]

પ્રશ્ન ૧
બિંદુ \((-1, 5)\) પર વર્તુળ \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) ને સ્પર્શક રેખા બનાવો.

ચર્ચા:
એક વર્તુળ જેનું કેન્દ્ર \((-2, 3)\) અને ત્રિજ્યા 3 એકમ છે. સ્પર્શક બિંદુ \((-1, 5)\) છે.

1. ખાતરી કરો કે બિંદુ વર્તુળ પર છે:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{વર્તુળ પર નહીં}
\]
આમ, પ્રશ્ન અથવા બિંદુના ઇનપુટમાં ભૂલ હોઈ શકે છે. જો \((-2, 6)\) ને સ્પર્શક બિંદુ તરીકે આપવામાં આવે તો:

2. સરળ બનાવો:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
અવેજી:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
પરિણામ:
\[
૦ + ૩(y-૩) = ૩^૨
\]
\[
૩ વર્ષ-૯=૯
\]
\[
વાય = 6

તે તારણ આપે છે કે બિંદુ અને વ્યક્તિ:
y = 6 ચોક્કસપણે માન્ય છે.

નિષ્કર્ષ તપાસ સંયોજન, યાદ રાખવું, ગણતરી કરવાની 2 રીતો.
માન્ય/ખોટા..તે પ્લસ સારાંશ ગાર. ટીડી 2; આકાર માન્ય (ગ્રીડ) સાથે. વધુ પરિમિતિ બધા કવરેજ btns.

બસ, આભાર અને મને આશા છે કે આ મારા મિત્રો માટે ઉપયોગી થશે.

વધુમાં, સમજણને મજબૂત બનાવવાની વિભાવના શીખો.

જેઓ પહેલા સમજી શક્યા ન હતા, ભગવાનની ઇચ્છા હોય તો, તેમને વધુ વિગતવાર જટિલ સર્જિકલ પગલાં મળશે.

\[
.facts(n+x)=qa.\રંગ{રોકે છે}-fu.
"