વેક્ટર બાદબાકી પર ચર્ચા પ્રશ્નનું ઉદાહરણ

વેક્ટર બાદબાકીના ઉદાહરણ પ્રશ્નો અને ચર્ચા

પેન્ડાહુલુઆન

ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, વેક્ટર એ એક મૂળભૂત ખ્યાલ છે જેનો ઉપયોગ ઘણી કુદરતી અને ઇજનેરી ઘટનાઓને સમજાવવા માટે થાય છે. વેક્ટર એ એક એવો જથ્થો છે જેની તીવ્રતા અને દિશા બંને હોય છે. વેક્ટરના કેટલાક મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણો વિસ્થાપન, વેગ, પ્રવેગ અને બળ છે. આ લેખમાં, આપણે વેક્ટર બાદબાકીની ચર્ચા કરીશું, જોકે આ વિષય પર ઘણીવાર વેક્ટર સંયોજનના સંદર્ભમાં ભાર મૂકવામાં આવે છે.

વેક્ટર બાદબાકી એ એક મૂળભૂત ક્રિયા છે જે વેક્ટર વિશ્લેષણમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. આ ખ્યાલમાં વધુ ઊંડાણપૂર્વક ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ કરવા માટે, ચાલો વેક્ટર બાદબાકી સંબંધિત કેટલીક સમસ્યાઓ અને ચર્ચાઓની સમીક્ષા કરીએ.

વેક્ટર બાદબાકી

વેક્ટર બાદબાકી {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} ને વેક્ટર {\displaystyle -\mathbf{B}} સાથે ઉમેરવાની ક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં {\displaystyle -\mathbf{B}} એ {\displaystyle \mathbf{B}} જેટલું જ મૂલ્ય ધરાવતો પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં રહેતો વેક્ટર છે. ગાણિતિક રીતે, આને આ રીતે લખી શકાય છે:

{\displaystyle \mathbf{A} - \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}

નમૂના પ્રશ્નો અને ચર્ચા

પ્રશ્ન ૧: દ્વિ-પરિમાણીય વેક્ટર બાદબાકી

ધારો કે કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં બે વેક્ટર છે:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} અને {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. ગણતરી કરો {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}}.

ચર્ચા:

પહેલું પગલું એ છે કે {\displaystyle \mathbf{B}} ના ઋણ વેક્ટર શોધવાનું, એટલે કે:

{\ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ -\મેથબીએફ{બી} = (-1, -2)}

આગળ, {\displaystyle \mathbf{A}} ને {\displaystyle -\mathbf{B}} સાથે ઉમેરો:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}

દરેક x અને y ઘટક ઉમેરીને વેક્ટર સરવાળો કરો:

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}

{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}

તેથી, {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} વેક્ટર બાદબાકીનું પરિણામ વેક્ટર (3, 1) છે.

પ્રશ્ન ૨: ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટર બાદબાકી

ત્રિ-પરિમાણીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં બે વેક્ટર આપેલ છે:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} અને {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. ગણતરી કરો {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}}.

ચર્ચા:

પહેલું પગલું એ છે કે {\displaystyle \mathbf{Q}} ના ઋણ વેક્ટર શોધવા:

{\ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ -\મેથબીએફ{ક્યુ} = (૩, -૫, -૭)}

આગળ, {\displaystyle \mathbf{P}} ને {\displaystyle -\mathbf{Q}} સાથે ઉમેરો:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}

દરેક x, y, અને z ઘટક ઉમેરીને વેક્ટર સરવાળા કરો:

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}

{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}

તેથી, {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}} વેક્ટર બાદબાકીનું પરિણામ વેક્ટર (5, -9, -1) છે.

પ્રશ્ન ૩: જટિલ સમતલમાં વેક્ટર બાદબાકી

ધારો કે જટિલ સંખ્યાઓ દ્વારા રજૂ થતા બે વેક્ટર છે:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} અને {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. ગણતરી કરો {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}}.

ચર્ચા:

પહેલું પગલું એ છે કે {\displaystyle \mathbf{N}} ના ઋણ વેક્ટર શોધવા:

{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}

આગળ, {\displaystyle \mathbf{M}} ને {\displaystyle -\mathbf{N}} સાથે ઉમેરો:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}

દરેક વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ઘટક ઉમેરીને વેક્ટર સરવાળો કરો:

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}

{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}

તેથી, {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}} વેક્ટર બાદબાકીનું પરિણામ જટિલ સંખ્યા 2 + 2i છે.

પ્રશ્ન ૪: ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં વેક્ટર બાદબાકી

ધારો કે ધ્રુવીય કોઓર્ડિનેટ્સમાં બે વેક્ટર છે:
{\displaystyle \mathbf{U}} ની તીવ્રતા 5 અને ખૂણો 30° છે,
અને {\displaystyle \mathbf{V}} ની તીવ્રતા 3 અને ખૂણો 150° છે.
ગણતરી કરો {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}}.

ચર્ચા:

પહેલું પગલું એ છે કે વેક્ટર્સ {\displaystyle \mathbf{U}} અને {\displaystyle \mathbf{V}} ને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ માં રૂપાંતરિત કરો.
{\displaystyle \mathbf{U}} માટે:
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}

તો કાર્ટેશિયનમાં {\displaystyle \mathbf{U}} (4.33, 2.5) છે.

{\displaystyle \mathbf{V}} માટે:
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}

તો કાર્ટેશિયનમાં {\displaystyle \mathbf{V}} (-2.598, 1.5) છે.

આગળનું પગલું, કાર્ટેશિયનમાં વેક્ટર બાદબાકીની ગણતરી કરો:

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}

જેનો અર્થ થાય છે વેક્ટરનો ઋણ ઉમેરીને:

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (૪.૩૩ + ૨.૫૯૮, ૨.૫ – ૧.૫)}

{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}

તેથી, કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} બાદબાકીનું પરિણામ (6.928, 1) છે.

કેસિમ્પુલન

વેક્ટર વિશ્લેષણનો ઉપયોગ કરતા ઘણા ક્ષેત્રોમાં વેક્ટર બાદબાકી એક આવશ્યક ગાણિતિક ક્રિયા છે. દ્વિ-પરિમાણીય, ત્રિ-પરિમાણીય, જટિલ અથવા ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીઓમાં, મૂળભૂત સિદ્ધાંત સમાન રહે છે: એક વેક્ટરને બીજાના નકારાત્મકમાં ઉમેરવાનું. ઉપરોક્ત ઉદાહરણો આ ક્રિયાને વિવિધ સંદર્ભોમાં લાગુ કરવાની વિવિધ રીતો દર્શાવે છે, જે આપણને ખ્યાલને વધુ ઊંડાણપૂર્વક અને વ્યવહારિક રીતે સમજવામાં મદદ કરે છે.