જૂથબદ્ધ ડેટાના ચતુર્થાંશની ચર્ચા કરતા ઉદાહરણ પ્રશ્નો
પેન્ડાહુલુઆન
આંકડાશાસ્ત્રમાં ચતુર્થાંશ એ કેન્દ્રીય વલણનું માપ છે જે ડેટાને ચાર સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે. ચતુર્થાંશમાં પ્રથમ ચતુર્થાંશ (Q1), બીજો ચતુર્થાંશ (Q2) અને ત્રીજો ચતુર્થાંશ (Q3) હોય છે. ઘણા કિસ્સાઓમાં, વિશ્લેષણ કરવામાં આવતા ડેટાને જૂથબદ્ધ કરી શકાય છે. આ લેખ જૂથબદ્ધ ડેટા માટે ઉદાહરણો અને ચતુર્થાંશની ચર્ચા કરશે.
ગ્રુપ ડેટામાં ચતુર્થાંશને સમજવું
ચતુર્થાંશ એવા મૂલ્યો છે જે સંગઠિત ડેટાને ચાર સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે. પ્રથમ ચતુર્થાંશ (Q1) 25મા પર્સેન્ટાઇલ તરીકે ઓળખાય છે, બીજા ચતુર્થાંશ (Q2) ને મધ્યક અથવા 50મા પર્સેન્ટાઇલ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, અને ત્રીજા ચતુર્થાંશ (Q3) ને 75મા પર્સેન્ટાઇલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
જૂથબદ્ધ ડેટા માટે, એકલ ડેટા કરતાં ચતુર્થાંશની ગણતરી થોડી વધુ જટિલ છે. જૂથબદ્ધ ડેટા સામાન્ય રીતે ફ્રીક્વન્સી વિતરણ કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવે છે, તેથી આપણે ચતુર્થાંશ શોધવા માટે ચોક્કસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.
જૂથબદ્ધ ડેટા માટે ચતુર્થાંશ સૂત્ર
જૂથબદ્ધ ડેટામાં ચતુર્થાંશ શોધવા માટે, આપણે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
– પ્રથમ ચતુર્થાંશ (Q1):
\[
Q1 = L_{Q1} + \left( \frac{\frac{N}{4} – F_{Q1}}{f_{Q1}} \right) \વખત c
\]
– બીજો ચતુર્થાંશ (Q2):
\[
Q2 = L_{Q2} + \left( \frac{\frac{N}{2} – F_{Q2}}{f_{Q2}} \right) \વખત c
\]
– ત્રીજો ચતુર્થાંશ (Q3):
\[
Q3 = L_{Q3} + \left( \frac{\frac{3N}{4} – F_{Q3}}{f_{Q3}} \right) \વખત c
\]
ક્યાં:
– \( L_{Q1}, L_{Q2}, L_{Q3} \) = વર્ગ Q1, Q2, Q3 ની નીચલી સીમા
– \( N \) = ડેટાની સંખ્યા
– \( F_{Q1}, F_{Q2}, F_{Q3} \) = વર્ગ Q1, Q2, Q3 પહેલાં સંચિત આવર્તન
– \( f_{Q1}, f_{Q2}, f_{Q3} \) = વર્ગ આવર્તન Q1, Q2, Q3
– \( c \) = વર્ગ લંબાઈ
સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ
નીચે આપેલ જૂથ ડેટા સમસ્યાનું ઉદાહરણ છે જેનો ઉપયોગ ચતુર્થાંશ ગણતરી કરવા માટે થશે:
| મૂલ્ય | આવર્તન |
|————|———–|
| ૬૦ – ૬૯ | ૪ |
| ૬૦ – ૬૯ | ૪ |
| ૪૦ – ૪૯ | ૧૫ |
| ૪૦ – ૪૯ | ૧૫ |
| ૬૦ – ૬૯ | ૪ |
| ૬૦ – ૬૯ | ૪ |
પગલું 1: સંચિત આવર્તન નક્કી કરો
સૌ પ્રથમ, આપણે દરેક વર્ગ માટે સંચિત આવર્તન નક્કી કરવાની જરૂર છે:
| મૂલ્ય | આવર્તન | સંચિત આવર્તન |
|————|————–|————————|
| ૧૦ – ૧૯ | ૫ | ૫ |
| ૬૦ – ૬૯ | ૪ | ૫૦ |
| ૪૦ – ૪૯ | ૧૫ | ૪૦ |
| ૪૦ – ૪૯ | ૧૫ | ૪૦ |
| ૬૦ – ૬૯ | ૪ | ૫૦ |
| ૬૦ – ૬૯ | ૪ | ૫૦ |
ડેટાની સંખ્યા (N) = 50
પગલું 2: પ્રથમ ચતુર્થાંશ (Q1) નક્કી કરવું
– \( \frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \)
આપણે એવા વર્ગની શોધ કરીએ છીએ જ્યાં સંચિત આવર્તન પહેલા 12.5 થી વધુ હોય, એટલે કે વર્ગ 20 - 29.
– L (વર્ગ Q1 ની નીચલી મર્યાદા) = 20
– F (વર્ગ Q1 પહેલા સંચિત આવર્તન) = 5
– f (વર્ગ Q1 ની આવૃત્તિ) = 8
– c (વર્ગ લંબાઈ) = 10
સૂત્ર Q1 નો ઉપયોગ કરીને:
\[
પ્રશ્ન ૧ = ૨૦ + \left( \frac{૧૨.૫ – ૫}{૮} \right) \ગુણા ૧૦ = ૨૦ + \left( \frac{૭.૫}{૮} \right) \ગુણા ૧૦ = ૨૦ + ૯.૩૭૫ = ૨૯.૩૭૫
\]
પગલું 3: બીજા ચતુર્થાંશ (Q2) નક્કી કરવું
– \( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
આપણે એવા વર્ગની શોધ કરીએ છીએ જ્યાં સંચિત આવર્તન પહેલા 25 થી વધુ હોય, એટલે કે વર્ગ 30 - 39.
– એલ = 30
– એફ = 13
– એફ = ૧૨
– c = 10
સૂત્ર Q2 નો ઉપયોગ કરીને:
\[
પ્રશ્ન ૧ = ૨૦ + \left( \frac{૧૨.૫ – ૫}{૮} \right) \ગુણા ૧૦ = ૨૦ + \left( \frac{૭.૫}{૮} \right) \ગુણા ૧૦ = ૨૦ + ૯.૩૭૫ = ૨૯.૩૭૫
\]
પગલું 4: ત્રીજો ચતુર્થાંશ (Q3) નક્કી કરો
– \( \frac{3N}{4} = \frac{3 \ગુણા 50}{4} = 37.5 \)
આપણે એવા વર્ગની શોધ કરીએ છીએ જ્યાં સંચિત આવર્તન પહેલા 37.5 થી વધુ હોય, એટલે કે વર્ગ 40 - 49.
– એલ = 40
– એફ = 25
– એફ = ૧૨
– c = 10
સૂત્ર Q3 નો ઉપયોગ કરીને:
\[
Q3 = 40 + \left( \frac{37.5 – 25}{15} \right) \times 10 = 40 + \left( \frac{12.5}{15} \right) \times 10 = 40 + 8.333 \અંદાજે 48.333
\]
કેસિમ્પુલન
ઉપરોક્ત ગણતરીઓમાંથી, આપણે જૂથ ડેટા માટે ચતુર્થાંશ મૂલ્યો નીચે મુજબ મેળવીએ છીએ:
– પ્રથમ ચતુર્થાંશ (Q1) = 29.375
– બીજો ચતુર્થાંશ (Q2) = 40
– ત્રીજો ચતુર્થાંશ (Q3) = 48.333
આ મૂલ્યો આપણને જૂથમાં ડેટા કેવી રીતે વિતરિત થાય છે તે સમજવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 25% ડેટા 29.375 (Q1) થી નીચે આવે છે, 50% ડેટા 40 (મધ્ય અથવા Q2) થી નીચે આવે છે, અને 75% ડેટા 48.333 (Q3) થી નીચે આવે છે.
ડેટા વિતરણની ઊંડી સમજ મેળવવા માટે વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં ચતુર્થાંશ ગણતરીઓ ઉપયોગી છે. આ પદ્ધતિને સમજવાથી આપણે જૂથબદ્ધ ડેટાનું વધુ સચોટ અને અસરકારક રીતે વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ.
