કાર્યો અને વ્યસ્ત કાર્યોની રચનાની ચર્ચા કરતા ઉદાહરણ પ્રશ્નો
ગણિતમાં, ફંક્શન કમ્પોઝિશન અને ઇન્વર્સ ફંક્શનની વિભાવનાઓ બે નજીકથી સંબંધિત વિષયો છે જે કેલ્ક્યુલસ, ગાણિતિક વિશ્લેષણ અને ફંક્શન થિયરી જેવી અદ્યતન સમજણ માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ લેખમાં સમજવામાં સરળ ઉદાહરણો અને ચર્ચાઓ આપીને બંને વિભાવનાઓનું અન્વેષણ કરવામાં આવશે. ધ્યેય વાચકોને ફંક્શન કમ્પોઝિશન અને ફંક્શનલ ઇન્વર્સ વધુ વ્યવહારુ રીતે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તે સમજવામાં મદદ કરવાનો છે.
1. કાર્ય રચના
ફંક્શન કમ્પોઝિશન એ બે ફંક્શન્સને એકમાં જોડવાની ક્રિયા છે. જો આપણી પાસે બે ફંક્શન \( f(x) \) અને \( g(x) \) હોય, તો આ ફંક્શન્સની કમ્પોઝિશન \( (f \circ g)(x) \) છે, જેને "x ની f કમ્પોઝિશન g" અથવા "x ની f" વાંચવામાં આવે છે. આ કમ્પોઝિશનને પહેલા ફંક્શન \( g(x) \) લાગુ કરવા, પછી ફંક્શન \( f \) ને \( g(x) \) ના પરિણામ પર લાગુ કરવા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૩:
\( f(x) = 2x + 3 \) અને \( g(x) = x^2 – 1 \) ફંક્શન આપેલ છે. \( (f \circ g)(x) \) અને \( (g \circ f)(x) \) ની રચના શોધો.
ચર્ચા:
1. નક્કી કરો \( (f \circ g)(x) \):
\( (f \circumference g)(x) = f(g(x)) \)
\( = f(x^2 – 1) \)
\( x^2 – 1 \) ને \( f(x) \ માં બદલો):
\( f(x^2 – 1) = 2(x^2 – 1) + 3 \)
\( = 2x^2 – 2 + 3 \)
\( = 2x^2 + 1 \)
તો, \( (f \circ g)(x) = 2x^2 + 1 \).
2. નક્કી કરો \( (g \circ f)(x) \):
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( = ગ્રામ(2x + 3) \)
\( 2x + 3 \) ને \( g(x) \ માં બદલો):
\( g(2x + 3) = (2x + 3)^2 – 1 \)
\( (2x + 3)^2 \) ની ગણતરી કરવા માટે દ્વિઘાત ઓળખનો ઉપયોગ કરો:
\( = 4x^2 + 12x + 9 – 1 \)
\( = 4x^2 + 12x + 8 \)
તો, \( (g \circ f)(x) = 4x^2 + 12x + 8 \).
2. વ્યસ્ત કાર્ય
વ્યસ્ત ફંક્શન એ એક ફંક્શન છે જે મૂળ ફંક્શનની અસરને ઉલટાવે છે. જો \( f \) એક ફંક્શન હોય, તો \( f \) નો વ્યસ્ત, જેને \( f^{-1} \ તરીકે લખાય છે, તે એક ફંક્શન છે જે \( f(f^{-1}(x)) = x \) અને \( f^{-1}(f(x)) = x \) ને સંતોષે છે.
ફંક્શનનું વ્યસ્ત ફંક્શન શોધવા માટે, આપણે નીચે મુજબ કરવું પડશે:
1. \( f(x) \) ને \( y \) થી બદલો.
2. \( x \) માટે સમીકરણ \( y \) ના સંદર્ભમાં ઉકેલો.
3. \( x \) અને \( y \) ચલોને સ્વેપ કરો.
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૩:
ફંક્શન \( f(x) = 3x – 4 \) આપેલ છે, તો તેનો વ્યસ્ત શોધો, એટલે કે \( f^{-1}(x) \).
ચર્ચા:
1. \( f(x) \) ને \( y \ થી બદલો:
\( y = 3x – 4 \).
2. \( x \) માટે \( y \) ના સંદર્ભમાં ઉકેલો:
\( y = 3x – 4 \)
સમીકરણની બંને બાજુ 4 ઉમેરો:
\( y + 4 = 3x \)
સમીકરણની બંને બાજુઓને 3 વડે વિભાજીત કરો:
\( x = \frac{y + 4}{3} \)
3. ચલોને \( x \) અને \( y \) સ્વેપ કરો:
\( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} \)
તો, \( f(x) = 3x – 4 \) નો વ્યસ્ત \( f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{3} \) છે.
3. રચના અને વ્યસ્તના સંયોજન સાથેના ઉદાહરણ પ્રશ્નો
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૩:
\( f(x) = x^3 + 2 \) અને \( g(x) = \sqrt[3]{x – 2} \) ફંક્શન આપેલ છે. સાબિત કરો કે \( g(x) \) એ \( f(x) \) નો વ્યસ્ત ઘાત છે.
ચર્ચા:
\( g(x) \) એ \( f(x) \ નો વ્યસ્ત છે તે સાબિત કરવા માટે, આપણે બતાવવું પડશે કે \( (f \circ g)(x) = x \) અને \( (g \circ f)(x) = x \).
1. બતાવો કે \( (f \circ g)(x) = x \):
\( (f \circumference g)(x) = f(g(x)) \)
\( g(x) = \sqrt[3]{x – 2} \) ને \( f(x) \ માં બદલો):
\( f(g(x)) = f(\sqrt[3]{x – 2}) \)
\( = (\sqrt[3]{x – 2})^3 + 2 \)
કારણ કે \( (\sqrt[3]{x – 2})^3 = x – 2 \):
\( = (x – 2) + 2 \)
\( = x \).
2. બતાવો કે \( (g \circ f)(x) = x \):
\( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \)
\( f(x) = x^3 + 2 \) ને \( g(x) \ માં બદલો):
\( g(f(x)) = g(x^3 + 2) \)
\( = \sqrt[3]{(x^3 + 2) – 2} \)
\( = \sqrt[3]{x^3} \)
\( = x \).
કારણ કે \( (f \circ g)(x) = x \) અને \( (g \circ f)(x) = x \), તો \( g(x) \) એ \( f(x) \) નો વ્યસ્ત છે.
૩. રોજિંદા જીવનમાં ઉપયોગો
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૩:
એક વૈજ્ઞાનિક બે ગાણિતિક મોડેલોનો ઉપયોગ કરે છે જે ફંક્શન \( f(T) = 5T + 40 \) અને \( g(P) = \frac{P – 40}{5} \) દ્વારા વર્ણવવામાં આવ્યા છે, જ્યાં \( T \) એ સેલ્સિયસમાં તાપમાન છે અને \( P \) એ પાસ્કલમાં દબાણ છે. નક્કી કરો કે ફંક્શન \( g \) ફંક્શન \( f \) નો વ્યસ્ત છે કે નહીં.
ચર્ચા:
\( g \) એ \( f \ નો વ્યસ્ત છે તે સાબિત કરવા માટે, આપણે બતાવવું પડશે કે \( (f \circ g)(P) = P \) અને \( (g \circ f)(T) = T \).
1. બતાવો કે \( (f \circ g)(P) = P \):
\( (f \circumference g)(P) = f(g(P)) \)
\( g(P) = \frac{P – 40}{5} \) ને \( f(T) \ માં બદલો):
\( f(g(P)) = f\left(\frac{P – 40}{5}\જમણે) \)
\( = 5\left(\frac{P – 40}{5}\જમણે) + 40 \)
\( = (P – 40) + 40 \)
\( = પી \).
2. બતાવો કે \( (g \circ f)(T) = T \):
\( (g \circ f)(T) = g(f(T)) \)
\( f(T) = 5T + 40 \) ને \( g(P) \ માં બદલો):
\( ગ્રામ(એફ(ટી)) = ગ્રામ(5ટી + 40) \)
\( = \frac{(5T + 40) – 40}{5} \)
\( = \ફ્રેક{5T}{5} \)
\( = ટી \).
કારણ કે \( (f \circ g)(P) = P \) અને \( (g \circ f)(T) = T \), તો \( g \) એ ફંક્શન \( f \) નો વ્યસ્ત છે.
કેસિમ્પુલન
ગણિતમાં ફંક્શન કમ્પોઝિશન અને ઇન્વર્સ ફંક્શનના ખ્યાલો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. તે ફક્ત બે ફંક્શન વચ્ચેના સંબંધને સમજવામાં મદદ કરે છે, પરંતુ ભૌતિકશાસ્ત્ર અને એન્જિનિયરિંગ જેવા વાસ્તવિક દુનિયામાં વિવિધ વ્યવહારુ ઉપયોગો માટેનો આધાર પણ પૂરો પાડે છે. ઉપરોક્ત ઉદાહરણોનો અભ્યાસ કરીને, આશા છે કે વાચકો આ બે ખ્યાલોની વધુ સારી સમજ અને ઉપયોગ મેળવશે.
