ગુણાંક નિર્ધારણ પર ચર્ચા પ્રશ્નનું ઉદાહરણ
નિર્ધારણ ગુણાંક (R²) એ રીગ્રેશન વિશ્લેષણમાં એક મહત્વપૂર્ણ પરિમાણ છે, જે દર્શાવે છે કે રીગ્રેશન મોડેલ ડેટાની વાસ્તવિક પરિવર્તનશીલતાને કેટલી સારી રીતે સમજાવે છે. આ લેખમાં, આપણે વિગતવાર ઉદાહરણ અને ચર્ચા દ્વારા નિર્ધારણ ગુણાંકની વિભાવના સમજાવીશું.
નિર્ધારણના ગુણાંકનો મૂળભૂત ખ્યાલ
નિર્ધારણનો ગુણાંક અથવા \( R^2 \) 0 થી 1 ના સ્કેલ પર માપવામાં આવે છે, જ્યાં:
– \( R^2 = 0 \) સૂચવે છે કે રીગ્રેશન મોડેલ ડેટાની પરિવર્તનશીલતાને બિલકુલ સમજાવી શકતું નથી.
– \( R^2 = 1 \) દર્શાવે છે કે રીગ્રેશન મોડેલ ડેટાની બધી પરિવર્તનશીલતાને સંપૂર્ણ રીતે સમજાવવા સક્ષમ છે.
નિર્ધારણના ગુણાંકની ગણતરી માટેનું મૂળભૂત સૂત્ર છે:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
ક્યાં:
– SSR (ચોરસ અવશેષોનો સરવાળો) એ મોડેલ દ્વારા અનુમાનિત મૂલ્યો અને વાસ્તવિક મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતોના વર્ગોનો સરવાળો છે.
- SST (ચોરસનો કુલ સરવાળો) એ વાસ્તવિક મૂલ્ય અને વાસ્તવિક મૂલ્યોની સરેરાશ વચ્ચેના તફાવતોના વર્ગોના સરવાળાનો કુલ છે.
સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ
ચાલો નિર્ધારણના ગુણાંકની ગણતરીને વધુ ઊંડાણમાં સમજવા માટે એક ઉદાહરણ સમસ્યાની ચર્ચા કરીએ.
સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ:
ધારો કે આપણી પાસે 10 વિદ્યાર્થીઓના અભ્યાસના કલાકો (X) અને પરીક્ષાના સ્કોર્સ (Y) નો ડેટા છે:
| વિદ્યાર્થીઓ | અભ્યાસના કલાકો (X) | પરીક્ષાનો સ્કોર (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| ૯ | ૩ | ૬૨ |
| ૯ | ૩ | ૬૨ |
| ૯ | ૩ | ૬૨ |
| ૯ | ૩ | ૬૨ |
| ૯ | ૩ | ૬૨ |
| ૯ | ૩ | ૬૨ |
| ૯ | ૩ | ૬૨ |
| ૯ | ૩ | ૬૨ |
| ૯ | ૩ | ૬૨ |
| ૧૦ | ૪ | ૭૮ |
આપણે એક સરળ રેખીય રીગ્રેશન મોડેલ બનાવીશું જ્યાં અભ્યાસના કલાકો (X) ના આધારે પરીક્ષાના સ્કોર્સ (Y) ની આગાહી કરવામાં આવશે.
ચર્ચા
૧. એક સરળ રેખીય રીગ્રેશન મોડેલ બનાવવું
એક સરળ રેખીય રીગ્રેસન મોડેલનું સ્વરૂપ આ છે:
\[ વાય = એ + બીએક્સ \]
ક્યાં:
– \( Y \) એ અનુમાનિત પરીક્ષણ સ્કોર છે.
– \( X \) એ અભ્યાસના કલાકોની સંખ્યા છે.
– \( a \) એ અંતરાલ છે (Y અક્ષ પર છેદ બિંદુ જ્યારે X = 0 હોય છે).
– \( b \) એ ઢાળ છે (રીગ્રેશન રેખાનો ઢાળ).
પરિમાણો \( a \) અને \( b \) ની ગણતરી કરવા માટે, આપણે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
જ્યાં \( n \) એ ડેટાની સંખ્યા છે (આ કિસ્સામાં n = 10).
કોષ્ટકમાંથી આપણે ગણતરી કરી શકીએ છીએ:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
ચાલો પહેલા b ની ગણતરી કરીએ:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ બી = 4 \]
પછી, આપણે ગણતરી કરીએ છીએ:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
તેથી, આપણને મળેલ રેખીય રીગ્રેશન મોડેલ છે:
\[ વાય = 56 + 4X \]
2. અનુમાનિત મૂલ્ય (Y') ની ગણતરી કરો
આગળ, આપણે દરેક \( X \) માટે અનુમાનિત મૂલ્ય \( Y' \) ની ગણતરી કરીશું:
| વિદ્યાર્થીઓ | અભ્યાસના કલાકો (X) | પરીક્ષાનો સ્કોર (Y) | અનુમાનિત સ્કોર (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| ૯ | ૩ | ૬૨ | \( ૫૬ + ૪(૩) = ૬૮ \) |
| ૯ | ૩ | ૬૨ | \( ૫૬ + ૪(૩) = ૬૮ \) |
| ૯ | ૩ | ૬૨ | \( ૫૬ + ૪(૩) = ૬૮ \) |
| ૯ | ૩ | ૬૨ | \( ૫૬ + ૪(૩) = ૬૮ \) |
| ૯ | ૩ | ૬૨ | \( ૫૬ + ૪(૩) = ૬૮ \) |
| ૯ | ૩ | ૬૨ | \( ૫૬ + ૪(૩) = ૬૮ \) |
| ૯ | ૩ | ૬૨ | \( ૫૬ + ૪(૩) = ૬૮ \) |
| ૯ | ૩ | ૬૨ | \( ૫૬ + ૪(૩) = ૬૮ \) |
| ૯ | ૩ | ૬૨ | \( ૫૬ + ૪(૩) = ૬૮ \) |
| ૧૦ | ૪ | ૭૮ | \( ૫૬ + ૪(૪) = ૭૨ \) |
3. SSR અને SST ની ગણતરી
આગળ, આપણે \( R^2 \) મેળવવા માટે SSR અને SST ની ગણતરી કરીશું.
SSR:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ એસએસઆર = 454 \]
એસએસટી:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
ક્યાં:
\[ \બાર{વાય} = \ફ્રેક{\સમ{વાય}}{n} = \ફ્રેક{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = ૧૫૩.૭૬ + ૪૦.૯૬ + ૦.૧૬ + ૨૧૩.૧૬ + ૧૭૮.૫૬ + ૫.૭૬ + ૨.૫૬ + ૩૮૪.૧૬ + ૭૦.૫૬ + ૫૭.૭૬ \]
\[ એસએસટી = 1107.44 \]
4. નિર્ધારણના ગુણાંકની ગણતરી \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ આર^2 = 0.59 \]
કેસિમ્પુલન
ઉપરોક્ત ગણતરીમાંથી, અમને નિર્ધારણનો ગુણાંક (R2 = 0.59) મળ્યો. આ સૂચવે છે કે અમે બનાવેલ રેખીય રીગ્રેશન મોડેલ અભ્યાસના કલાકોના આધારે પરીક્ષાના સ્કોર્સમાં લગભગ 59% પરિવર્તનશીલતાને સમજાવી શકે છે. બાકીના 41% પરિવર્તનશીલતા મોડેલમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા અન્ય પરિબળોને કારણે હોઈ શકે છે.
ઉપરોક્ત પગલાં અને ગણતરીઓને સમજીને, આપણે જે રીગ્રેશન મોડેલ બનાવીએ છીએ તે ડેટાની વાસ્તવિક પરિવર્તનશીલતાને કેટલી સારી રીતે સમજાવે છે તેનું મૂલ્યાંકન કરવામાં નિર્ધારણના ગુણાંકનું મહત્વ જોઈ શકીએ છીએ. આંકડાકીય વિશ્લેષણ અને ડેટા મોડેલિંગમાં તે ખૂબ જ ઉપયોગી સાધન છે.
