મૂવિંગ ચાર્જ પર બળની ચર્ચા કરતા ઉદાહરણ પ્રશ્નો
પેન્ડાહુલુઆન
ભૌતિકશાસ્ત્ર એ કુદરતી ઘટનાઓનો અભ્યાસ છે, જેમાં પદાર્થો પર કાર્ય કરતા બળોનો પણ સમાવેશ થાય છે. એક રસપ્રદ વિષય જેનો વારંવાર ચર્ચા થાય છે તે છે ગતિશીલ ચાર્જ પરનું બળ, ખાસ કરીને ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના સંદર્ભમાં. ઇલેક્ટ્રિક અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિશીલ ચાર્જ પર કાર્ય કરતા બળને લોરેન્ટ્ઝ બળ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ લેખમાં ગતિશીલ ચાર્જ પર કાર્ય કરતા બળ અંગેની કેટલીક સમસ્યાઓ અને તેમની ચર્ચાની ચર્ચા કરવામાં આવશે.
લોરેન્ટ્ઝ બળ
લોરેન્ટ્ઝ બળ એ વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફરતા ચાર્જ પર કાર્ય કરતા ચુંબકીય બળનું સંયોજન છે. ગાણિતિક રીતે, લોરેન્ટ્ઝ બળ (F) ને સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે:
\[ \mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
ક્યાં:
– \( \mathbf{F} \) એ લોરેન્ટ્ઝ બળ છે
– \( q \) એ ચાર્જ છે
– \( \mathbf{E} \) એ વિદ્યુત ક્ષેત્ર છે
– \( \mathbf{v} \) એ ચાર્જનો વેગ છે
– \( \mathbf{B} \) એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે
આ સમીકરણ દ્વારા, આપણે વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ગતિશીલ ચાર્જ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કાર્યરત બળોનું વિશ્લેષણ કરી શકીએ છીએ.
નમૂના પ્રશ્નો અને ચર્ચા
પ્રશ્ન ૧: ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રમાં ચાર્જ પર બળ
પ્રશ્ન:
એક ધન વિદ્યુતભાર \( q = 2 \times 10^{-6} \, C \) જમણી તરફ નિર્દેશિત એક સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E = 5 \times 10^4 \, N/C \) માં હોય છે. વિદ્યુતભાર પર કાર્યરત બળની ગણતરી કરો.
ચર્ચા:
ચુંબકીય ક્ષેત્રની હાજરી વિના વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં ચાર્જ માટે, લોરેન્ટ્ઝ બળમાં ફક્ત વિદ્યુત બળ ઘટકનો સમાવેશ થાય છે:
\[ \mathbf{F} = q \mathbf{E} \]
\( q = 2 \times 10^{-6} \, C \) અને \( \mathbf{E} = 5 \times 10^4 \, N/C \) સાથે:
\[ \mathbf{F} = (2 \ગુણા 10^{-6} \, C) \ગુણા (5 \ગુણા 10^4 \, N/C) \]
\[ \mathbf{F} = 0.1 \, N \]
બળ \( \mathbf{F} \) ની દિશા વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશામાં જ છે કારણ કે ચાર્જ ધન છે. તેથી, ચાર્જ પર કાર્યરત બળ જમણી બાજુ 0.1 N છે.
પ્રશ્ન 2: ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચાર્જ પર બળ
પ્રશ્ન:
એક ઋણ વિદ્યુતભાર \( q = -3 \times 10^{-6} \, C \) x-અક્ષ સાથે \( \mathbf{v} = 2 \times 10^3 \, m/s \) વેગ સાથે એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \mathbf{B} = 0.5 \, T \) માં z-અક્ષ સાથે નિર્દેશિત ગતિએ ગતિ કરે છે. વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળની ગણતરી કરો.
ચર્ચા:
ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની હાજરી વિના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા ચાર્જ માટે, લોરેન્ટ્ઝ બળમાં ફક્ત ચુંબકીય બળ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે:
\[ \mathbf{F} = q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
x દિશામાં \( q = -3 \times 10^{-6} \, C \), \( \mathbf{v} = 2 \times 10^3 \, m/s \) અને z દિશામાં \( \mathbf{B} = 0.5 \, T \) સાથે:
ગણતરી \( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \):
\[ \mathbf{v} = 2 \ગુણા 10^3 \, મીટર/સે \, \ટોપી{i} \]
\[ \mathbf{B} = 0.5 \, T \, \hat{k} \]
\[ \mathbf{v} \times \mathbf{B} = (2 \times 10^3 \, મીટર/સેકન્ડ \, \hat{i}) \times (0.5 \, T \, \hat{k}) \]
\[ \mathbf{v} \times \mathbf{B} = 2 \times 10^3 \, મીટર/સેકન્ડ \times 0.5 \, T \, \hat{i} \times \hat{k} \]
\[ \ટોપી{i} \વખત \ટોપી{k} = -\ટોપી{j} \]
\[ \mathbf{v} \times \mathbf{B} = – (1 \times 10^3 \, T \cdot m/s) \, \hat{j} \]
તેથી, ચુંબકીય બળ:
\[ \mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B} \]
\[ \mathbf{F} = (-3 \ગુણા 10^{-6} C) \ગુણા ( -10^3 \, T \cdot m/s \, \hat{j}) \]
\[ \mathbf{F} = 3 \times 10^{-3} \, N \, \hat{j} \]
\[ \mathbf{F} = 0.003 \, N \, \hat{j} \]
બળ \( \mathbf{F} \) ની દિશા ધન y-અક્ષ તરફ છે. તેથી, ચાર્જ પર કાર્યરત બળ 0.003 N ઉપરની તરફ છે (ધન y-અક્ષ દિશામાં).
પ્રશ્ન ૩: વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં ચાર્જ પર બળ
પ્રશ્ન:
એક ધન વિદ્યુતભાર \( q = 1.5 \times 10^{-6} \, C \) x-દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \mathbf{E} = 3 \times 10^4 \, N/C \) માં y-દિશામાં \( \mathbf{v} = 4 \times 10^3 \, m/s \) વેગ સાથે ગતિ કરે છે, અને z-દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \mathbf{B} = 0.2 \, T \) વેગ સાથે ગતિ કરે છે. ચાર્જ પર કાર્યરત કુલ બળની ગણતરી કરો.
ચર્ચા:
કુલ લોરેન્ટ્ઝ બળ:
\[ \mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
પ્રથમ, ગણતરી કરો \( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \):
\[ \mathbf{v} = 4 \ગુણા 10^3 \, મીટર/સે \, \ટોપી{j} \]
\[ \mathbf{B} = 0.2 \, T \, \hat{k} \]
\[ \mathbf{v} \times \mathbf{B} = (4 \times 10^3 \, m/s \, \hat{j}) \times (0.2 \, T \, \hat{k}) \]
\[ \mathbf{v} \times \mathbf{B} = 4 \times 10^3 \, મીટર/સેકન્ડ \times 0.2 \, T \, \hat{j} \times \hat{k} \]
\[ \ટોપી{જે} \વખત \ટોપી{કે} = \ટોપી{આઇ} \]
\[ \mathbf{v} \times \mathbf{B} = (0.8 \times 10^3 \, T \cdot m/s) \, \hat{i} \]
\[ \mathbf{v} \વખત \mathbf{B} = 800 \, T \cdot મીટર/સેકન્ડ \, \hat{i} \]
પછી, વિદ્યુત બળ:
\[ q \mathbf{E} = (1.5 \ગુણા 10^{-6} \, C) \ગુણા (3 \ગુણા 10^4 \, N/C \, \ટોપી{i}) \]
\[ q \mathbf{E} = 0.045 \, N \, \hat{i} \]
ચુંબકીય બળ:
\[ q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) = (1.5 \times 10^{-6} \, C) \times (800 \, T \cdot m/s \, \hat{i}) \]
\[ q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) = 0.0012 \, N \, \hat{i} \]
કુલ શૈલી:
\[ \mathbf{F} = q \mathbf{E} + q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \]
\[ \mathbf{F} = 0.045 \, N \, \hat{i} + 0.0012 \, N \, \hat{i} \]
\[ \mathbf{F} = 0.0462 \, N \, \hat{i} \]
તેથી, ચાર્જ પર કાર્યરત કુલ બળ જમણી બાજુએ 0.0462 N છે (ધન x-અક્ષ).
કેસિમ્પુલન
ઇલેક્ટ્રિક અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં ગતિશીલ ચાર્જ પરનું બળ દરેક ક્ષેત્રની દિશા અને તીવ્રતા તેમજ ચાર્જની ગતિ અને પ્રકાર પર ખૂબ આધાર રાખે છે. ઉપરોક્ત ઉદાહરણ પ્રશ્નો અને ચર્ચા દ્વારા, આશા છે કે વાચકો વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં લોરેન્ટ્ઝ બળ સિદ્ધાંતને કેવી રીતે લાગુ કરવો તે વધુ સારી રીતે સમજી શકશે. આ સમજણ ફક્ત સિદ્ધાંતમાં જ નહીં પરંતુ ઇલેક્ટ્રિક મોટર્સની ડિઝાઇન, ઓરોરા ઘટનાને સમજવા અને કણ પ્રવેગકોમાં કણોના કાર્ય જેવા તકનીકી અને વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્રોમાં વ્યવહારિક એપ્લિકેશનોમાં પણ મહત્વપૂર્ણ છે.
