સંભાવના વિતરણના ઉદાહરણ પ્રશ્નો અને ચર્ચા
સંભાવના વિતરણ એ આંકડાશાસ્ત્ર અને સંભાવનામાં મૂળભૂત ખ્યાલોમાંનો એક છે. તેનો ઉપયોગ રેન્ડમ સંખ્યાના વિવિધ મૂલ્યોની સંભાવનાને સમજવા માટે થાય છે. વિશ્લેષણ કરવામાં આવી રહેલા ડેટાની પ્રકૃતિના આધારે સંભાવના વિતરણ ઘણા સ્વરૂપો લઈ શકે છે. બે સૌથી સામાન્ય પ્રકારના સંભાવના વિતરણો અલગ અને સતત છે. આ લેખમાં, આપણે આ વિષયને વધુ સારી રીતે સમજવામાં મદદ કરવા માટે ઘણી ઉદાહરણો સમસ્યાઓની સમીક્ષા કરીશું અને સંભાવના વિતરણોની ચર્ચા કરીશું.
અલગ વિતરણ
ડિસ્ક્રીટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન એ એક ડિસ્ટ્રિબ્યુશન છે જે ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલની સંભાવનાની ગણતરી કરે છે, એટલે કે, એક ચલ જે ફક્ત ચોક્કસ મૂલ્યો જ લઈ શકે છે. ડિસ્ક્રીટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશનના જાણીતા ઉદાહરણો દ્વિપદી વિતરણ અને પોઈસન વિતરણ છે.
ઉદાહરણ ૧: દ્વિપદી વિતરણ
દ્વિપદી વિતરણ બર્નૌલી ટ્રાયલની શ્રેણીમાં સફળતાઓની સંખ્યાનું વર્ણન કરે છે. દરેક બર્નૌલી ટ્રાયલના બે પરિણામો હોય છે: સફળતા અથવા નિષ્ફળતા. સમગ્ર ટ્રાયલ દરમિયાન સફળતાની સંભાવના સતત રહે છે.
પ્રશ્ન:
એક દવા કંપની 10 દર્દીઓ પર એક નવી દવાનું પરીક્ષણ કરી રહી છે. કોઈપણ એક દર્દીમાં દવા કામ કરે તેવી સંભાવના 0.7 છે. 10 માંથી બરાબર 7 દર્દીઓમાં દવા કામ કરે તેવી સંભાવનાની ગણતરી કરો.
ચર્ચા:
રેન્ડમ ચલ \(X\) \(n = 10\) અને \(p = 0.7\) સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે. દ્વિપદી સંભાવના કાર્ય છે:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
\(k = 7\) માટે:
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
દ્વિપદી ગુણાંક \(\binom{10}{7}\) ની ગણતરી કરી રહ્યા છીએ:
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
સંભાવના મૂલ્યોની ગણતરી:
\[ P(X = 7) = 120 \ગુણા (0.7)^7 \ગુણા (0.3)^3 \]
\[ પી(એક્સ = ૭) \આશરે ૧૨૦ \ગુણા ૦.૦૮૨૩૫૪૩ \ગુણા ૦.૦૨૭ \]
\[ પી(એક્સ = 7) \આશરે 0.231 \]
તેથી, 10 માંથી 7 દર્દીઓમાં દવા કામ કરે તેવી સંભાવના લગભગ 0.231 અથવા 23.1% છે.
ઉદાહરણ ૨: પોઈસન વિતરણ
પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ આપેલ સમય અથવા અવકાશ અંતરાલમાં દુર્લભ ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યાને મોડેલ કરવા માટે થાય છે.
પ્રશ્ન:
એક દુકાનને દર કલાકે સરેરાશ 4 ગ્રાહકો મળે છે. એક કલાકમાં દુકાનને બરાબર 5 ગ્રાહકો મળવાની સંભાવના કેટલી છે?
ચર્ચા:
રેન્ડમ ચલ \(X\) પરિમાણ \(\lambda = 4\) સાથે પોઈસન વિતરણને અનુસરે છે. પોઈસન સંભાવના સમૂહ કાર્ય છે:
\[ પી(એક્સ = કે) = \ફ્રેક{\લેમ્બડા^કે^{-\લેમ્બડા}}{કે!} \]
\(k = 5\) માટે:
\[ પી(એક્સ = 5) = \ફ્રેક{4^5 ઇ^{-4}}{5!} \]
ગણતરી:
\[ પી(એક્સ = ૫) = \ફ્રેક{૧૦૨૪ \સીડોટ ઇ^{-૪}}{૧૨૦} \]
\[ પી(એક્સ = ૫) \આશરે \ફ્રેક{૧૦૨૪ \સીડોટ ૦.૦૧૮૩}{૧૨૦} \]
\[ પી(એક્સ = 5) \આશરે 0.156 \]
તેથી, સ્ટોરમાં એક કલાકમાં બરાબર 5 ગ્રાહકો આવે તેવી સંભાવના લગભગ 0.156 અથવા 15.6% છે.
સતત વિતરણ
સતત વિતરણનો ઉપયોગ ત્યારે થાય છે જ્યારે માપવામાં આવતું રેન્ડમ ચલ ચોક્કસ શ્રેણીમાં કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે. સતત વિતરણના જાણીતા ઉદાહરણો સામાન્ય વિતરણ અને ઘાતાંકીય વિતરણ છે.
ઉદાહરણ ૩: સામાન્ય વિતરણ
સામાન્ય વિતરણ, જેને ઘણીવાર ગૌસીયન વિતરણ કહેવામાં આવે છે, તે એક વિતરણ છે જેનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે વિજ્ઞાન, એન્જિનિયરિંગ અને અર્થશાસ્ત્ર સહિત વિવિધ ક્ષેત્રોમાં થાય છે.
પ્રશ્ન:
શહેરમાં પુખ્ત પુરુષોની ઊંચાઈ સામાન્ય રીતે સરેરાશ 170 સેમી અને પ્રમાણભૂત વિચલન 10 સેમી સાથે વહેંચાયેલી હોય છે. રેન્ડમલી પસંદ કરાયેલ માણસ 160 સેમી અને 180 સેમીની વચ્ચે હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
ચર્ચા:
આપણે ૧૬૦ સેમી અને ૧૮૦ સેમી માટે z-સ્કોરની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. z-સ્કોરને આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
\(X = 160\) માટે:
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
\(X = 180\) માટે:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
હવે આપણે z કોષ્ટકમાં -1 થી 1 સુધીના સંભાવના મૂલ્યો જોવાની જરૂર છે. z = -1 થી z = 1 સુધીનું મૂલ્ય આશરે 0.6826 છે.
તેથી, રેન્ડમલી પસંદ કરાયેલ માણસ ૧૬૦ સેમી અને ૧૮૦ સેમી ઊંચો હોવાની સંભાવના આશરે ૦.૬૮૨૬ અથવા ૬૮.૨૬% છે.
ઉદાહરણ ૪: ઘાતાંકીય વિતરણ
પોઈસન પ્રક્રિયામાં ઘટનાઓ વચ્ચેના સમયનું મોડેલ બનાવવા માટે ઘાતાંકીય વિતરણનો ઉપયોગ થાય છે.
પ્રશ્ન:
એક દુકાનમાં બે ગ્રાહકના આગમન વચ્ચેનો સરેરાશ સમય ૧૫ મિનિટનો છે. બે ગ્રાહકના આગમન વચ્ચેનો સમય ૧૦ મિનિટથી ઓછો હોવાની સંભાવના કેટલી છે?
ચર્ચા:
ઘાતાંકીય વિતરણમાં એક પરિમાણ \(\lambda\) છે જે સરેરાશ (\(\mu\) નો વ્યસ્ત છે. 15 મિનિટના સરેરાશ સાથે:
\[ \લેમ્બડા = \ફ્રેક{1}{\મુ} = \ફ્રેક{1}{15} = 0.0667 \]
ઘાતાંકીય સંચિત વિતરણ કાર્ય છે:
\[ P(X \leq x) = 1 – e^{-\lambda x} \]
\(x = 10\) માટે:
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.0667 \ગુણા 10} \]
\[ P(X \leq 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X \leq 10) \આશરે 1 – 0.5134 \]
\[ પી(એક્સ \લેક 10) \આશરે 0.4866 \]
તેથી, બે ગ્રાહકના આગમન વચ્ચેનો સમય 10 મિનિટથી ઓછો હોવાની સંભાવના લગભગ 0.4866 અથવા 48.66% છે.
કેસિમ્પુલન
સંભાવના વિતરણો, ડિસ્ક્રીટ અને કન્ટીન્યુઅસ બંને, રેન્ડમ ચલોના વર્તનને મોડેલિંગ અને સમજવા માટે ખૂબ જ ઉપયોગી ખ્યાલો છે. દ્વિપદી અને પોઈસન વિતરણોનો ઉપયોગ ઘણીવાર ડિસ્ક્રીટ ચલ માટે થાય છે, જ્યારે સામાન્ય અને ઘાતાંકીય વિતરણો સતત વિતરણોના ઉદાહરણો છે.
ઉપરોક્ત ઉદાહરણો દ્વારા, અમને આશા છે કે તમે સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓની ગણતરી અને અર્થઘટન કેવી રીતે કરવું તે વિશે વધુ સારી સમજ મેળવી હશે. સતત અભ્યાસ સાથે, સંભાવના વિતરણોને સમજવાની તમારી ક્ષમતામાં સુધારો થશે અને તેને વિવિધ શાખાઓમાં લાગુ કરી શકાય છે.
