દ્વિપદી વિતરણના ઉદાહરણ પ્રશ્નો અને ચર્ચા
દ્વિપદી વિતરણ એ સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા ડિસ્ક્રીટ પ્રોબેબિલિટી વિતરણોમાંનું એક છે. તે સંખ્યાબંધ સમાન, સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સમાં સફળતાઓની સંખ્યાનું મોડેલિંગ કરવા માટે ઉપયોગી છે, જેમાંથી દરેક સફળતા અથવા નિષ્ફળતાનું કારણ બને છે. આ લેખમાં, આપણે ઘણા ઉદાહરણો અને વિગતવાર ચર્ચા આપીને દ્વિપદી વિતરણમાં વધુ ઊંડાણપૂર્વક જઈશું.
દ્વિપદી વિતરણનો પરિચય
દ્વિપદી વિતરણની મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ:
૧. n : ટ્રાયલ અથવા પુનરાવર્તનોની સંખ્યા.
2. પૃષ્ઠ: દરેક અજમાયશમાં સફળતાની સંભાવના.
3. q = 1-p : દરેક ટ્રાયલમાં નિષ્ફળતાની સંભાવના.
દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના સમૂહ કાર્ય છે:
\[ P(X = k) = {n \k પસંદ કરો} p^k (1-p)^{nk} \]
ક્યાં:
– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): સફળતાઓની સંખ્યા દર્શાવતો રેન્ડમ ચલ.
– \( k \): શોધેલી સફળતાઓની સંખ્યા.
નમૂના પ્રશ્નો અને ચર્ચા
દ્વિપદી વિતરણની વિભાવનાને વધુ વિગતવાર સમજવા માટે ચાલો કેટલાક ઉદાહરણ સમસ્યાઓથી શરૂઆત કરીએ.
ઉદાહરણ ૧: વિદ્યાર્થીઓના જૂથમાંથી પસંદગી કરવી
ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે આપણી પાસે 10 વિદ્યાર્થીઓનું જૂથ છે, અને દરેક વિદ્યાર્થી સ્પર્ધામાં ભાગ લેવા માટે પસંદ થાય તેવી સંભાવના 0,3 છે. આપણે બરાબર 4 વિદ્યાર્થીઓ પસંદ થાય તેવી સંભાવના જાણવા માંગીએ છીએ.
પગલું 1: દ્વિપદી વિતરણના પરિમાણો ઓળખો.
– \( n = 10 \)
– \( પી = ૦.૭ \)
પગલું 2: \( X = 4 \) ની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ કરો.
\[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
ગણતરી કરી રહ્યા છીએ \( {10 \choose 4} \):
\[ {૧૦ \પસંદ ૪} = \frac{૧૦!}{૪!(૧૦-૪)!} = \frac{૧૦!}{૪!૬!} = ૨૧૦ \]
હવે ગણતરી કરો \( (0.3)^4 \) અને \( (0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
તો,
\[ પી(એક્સ = ૪) = ૨૧૦ \સીડોટ ૦.૦૦૮૧ \સીડોટ ૦.૧૧૭૬૪૯ \આશરે ૦.૨૦૦૧૨ \]
તેથી, બરાબર 4 વિદ્યાર્થીઓ પસંદ થયા હોવાની સંભાવના આશરે 0.20012 અથવા 20.012% છે.
ઉદાહરણ ૨: સંભાવના ૨ કરતા ઓછી અથવા બરાબર
હવે, ઉદાહરણ તરીકે, આપણને 2 થી ઓછા અથવા તેના બરાબર વિદ્યાર્થીઓ પસંદ કરવામાં આવશે તેવી સંભાવના વિશે પૂછવામાં આવે છે.
પગલું ૧: આપણે \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), અને \( P(X = 2) \) ની ગણતરી કરવાની છે.
– \( P(X = 0) \ માટે):
\[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {૧૦ \0 પસંદ કરો} = ૧ \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
\[ પી(એક્સ = 0) = 1 \cડોટ 1 \cડોટ 0.0282475 = 0.0282475 \]
– \( P(X = 1) \ માટે):
\[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {૧૦ \1 પસંદ કરો} = ૧ \]
\[ (0.3) \cdot (0.7)^9 = 0.1210608 \]
\[ પી(એક્સ = 1) = 10 \cડોટ 0.3 \cડોટ 0.1210608 = 0.3631824 \]
– \( P(X = 2) \ માટે):
\[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {૧૦ \2 પસંદ કરો} = ૧ \]
\[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
\[ પી(એક્સ = 2) = 45 \cડોટ 0.09 \cડોટ 0.2334744 = 0.2334744 \]
પગલું 2: સંભાવનાઓ ઉમેરો.
\[ પી(એક્સ \લેક 2) = પી(એક્સ = 0) + પી(એક્સ = 1) + પી(એક્સ = 2) \]
\[ P(X \leq 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]
તેથી, 2 કરતા ઓછા અથવા તેના બરાબર વિદ્યાર્થીઓ પસંદ થાય તેવી સંભાવના આશરે 0.7740671 અથવા 77.41% છે.
ઉદાહરણ ૩: ઓછામાં ઓછા ૮ ની સંભાવના
જો કોઈ પ્રયોગ ૧૨ વખત કરવામાં આવે અને દરેક પ્રયોગમાં સફળતાની સંભાવના ૦.૫ હોય, તો ઓછામાં ઓછી ૮ સફળતા મળે તેવી સંભાવના કેટલી છે?
પગલું 1 : દ્વિપદી પરિમાણો સેટ કરો: \( n = 12, p = 0.5 \).
પગલું 2 : \( X \geq 8 \) માટે સંભાવના શોધો.
આ માટે ઘણી વ્યક્તિગત સંભાવનાઓની ગણતરી કરવી અને તેમને ઉમેરવાની જરૂર છે:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
એક પછી એક ગણો:
– \( P(X = 8) \ માટે):
\[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {૧૦ \8 પસંદ કરો} = ૧ \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
\[ પી(એક્સ = 8) = 495 \cડોટ 0.0002441406 = 0.1208496 \]
– \( P(X = 9) \ માટે):
\[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {૧૦ \9 પસંદ કરો} = ૧ \]
\[ પી(એક્સ = 9) = 220 \cડોટ 0.0002441406 = 0.05371094 \]
– \( P(X = 10) \ માટે):
\[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {૧૦ \10 પસંદ કરો} = ૧ \]
\[ પી(એક્સ = 10) = 66 \cડોટ 0.0002441406 = 0.01611328 \]
– \( P(X = 11) \ માટે):
\[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {૧૦ \11 પસંદ કરો} = ૧ \]
\[ પી(એક્સ = 11) = 12 \cડોટ 0.0002441406 = 0.002929688 \]
– \( P(X = 12) \ માટે):
\[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
\[ {૧૦ \12 પસંદ કરો} = ૧ \]
\[ પી(એક્સ = 12) = 1 \cડોટ 0.0002441406 = 0.0002441406 \]
પગલું 3: બધી સંભાવનાઓ ઉમેરો.
\[ P(X \geq 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 \અંદાજે 0.1938477 \]
તેથી, ૧૨ અજમાયશમાં ઓછામાં ઓછી ૮ સફળતા મળે તેવી સંભાવના આશરે ૦.૧૯૩૮૪૭૭ અથવા ૧૯.૩૮% છે.
કેસિમ્પુલન
દ્વિપદી વિતરણ એ આંકડાશાસ્ત્રમાં એક મૂળભૂત ખ્યાલ છે જે ઘણા વ્યવહારુ ઉપયોગોમાં મહત્વપૂર્ણ છે. ઉપરોક્ત ઉદાહરણોમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, દ્વિપદી વિતરણના વિવિધ કિસ્સાઓ માટે સંભાવનાઓની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે સમજીને, આપણે વાસ્તવિક દુનિયાની પરિસ્થિતિઓમાં આ ખ્યાલ લાગુ કરી શકીએ છીએ. આ કવાયત સ્પષ્ટ અને વ્યવસ્થિત સંદર્ભમાં સંભાવના માળખાં કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તેની આપણી સમજને પણ મજબૂત બનાવે છે.
