બે ઘટનાઓ A અને B ના ઉમેરણના નિયમની ચર્ચા કરતા ઉદાહરણ પ્રશ્નો જે પરસ્પર વિશિષ્ટ નથી
પેન્ડાહુલુઆન
સંભાવનામાં, મૂળભૂત ખ્યાલો અને તેમના ઉપયોગોને સમજવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. એક ખ્યાલ જે વારંવાર ઉદ્ભવે છે તે છે સંભાવના ઉમેરણનો નિયમ. આ લેખમાં, આપણે બે બિન-વિશિષ્ટ ઘટનાઓ માટે ઉમેરણના નિયમમાં ઊંડાણપૂર્વક ઊંડાણપૂર્વક જઈશું. બિન-વિશિષ્ટ ઘટનાઓ ત્યારે થાય છે જ્યારે બે ઘટનાઓ એક સંભવિત તત્વને શેર કરે છે, અથવા બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બંને ઘટનાઓ એકસાથે થઈ શકે છે. સમજવામાં સરળતા માટે, ચાલો એક ઉદાહરણ સમસ્યા અને તેના સમજૂતી જોઈએ.
મૂળભૂત સિદ્ધાંત
જો આપણી પાસે બે ઘટનાઓ A અને B હોય જે પરસ્પર વિશિષ્ટ ન હોય, તો ઘટના A અથવા B ની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટેનો સરવાળો નિયમ આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
અહીં:
– \( P(A \cup B) \) એ A અથવા B (અથવા બંને) થવાની સંભાવના છે.
– \( P(A) \) એ ઘટના A બનવાની સંભાવના છે.
– \( P(B) \) એ ઘટના B બનવાની સંભાવના છે.
– \( P(A \cap B) \) એ સંભાવના છે કે A અને B એકસાથે થાય છે.
સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ
પ્રશ્ન ૧: શાળામાં, ૭૦% વિદ્યાર્થીઓ ફૂટબોલ (ઇવેન્ટ A) રમવાનું પસંદ કરે છે, ૪૦% વિદ્યાર્થીઓ બાસ્કેટબોલ (ઇવેન્ટ B) રમવાનું પસંદ કરે છે, અને ૨૦% વિદ્યાર્થીઓ બંને રમતો રમવાનું પસંદ કરે છે. વિદ્યાર્થીને ફૂટબોલ કે બાસ્કેટબોલ રમવાનું ગમે છે તેની સંભાવના કેટલી છે?
ચર્ચા:
તે જાણીતું છે:
– \( P(A) = 0.70 \)
– \( પી(બી) = ૦.૪૦ \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
બે પરસ્પર વિશિષ્ટ ઘટનાઓ ઉમેરવાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
\[ P(A \કપ B) = 0.90 \]
તો, વિદ્યાર્થીને ફૂટબોલ કે બાસ્કેટબોલ રમવાનું ગમે છે તેની સંભાવના 0.90 અથવા 90% છે.
પ્રશ્ન ૨: એક સર્વેક્ષણમાં, ૩૫% ઉત્તરદાતાઓને કોફી (ઘટના A), ૫૦% ઉત્તરદાતાઓને ચા (ઘટના B) અને ૧૦% ઉત્તરદાતાઓને બંને ગમે છે. કોઈ ઉત્તરદાતાને કોફી કે ચા ગમે છે તેની સંભાવના કેટલી છે?
ચર્ચા:
તે જાણીતું છે:
– \( P(A) = 0.35 \)
– \( પી(બી) = ૦.૪૦ \)
– \( P(A \cap B) = 0.10 \)
બે પરસ્પર વિશિષ્ટ ઘટનાઓ ઉમેરવાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
\[ P(A \કપ B) = 0.75 \]
તો, ઉત્તરદાતાને કોફી કે ચા ગમે છે તેની સંભાવના 0.75 અથવા 75% છે.
પ્રશ્ન ૩: આંકડાકીય માહિતી પરથી, એ જાણી શકાય છે કે ૬૦% લોકોને પુસ્તકો વાંચવાનું ગમે છે (ઘટના A), ૩૦% લોકોને ફિલ્મો જોવાનું ગમે છે (ઘટના B), અને ૧૫% લોકોને બંને કરવાનું ગમે છે. કોઈ વ્યક્તિને પુસ્તકો વાંચવાનું કે ફિલ્મો જોવાનું ગમે છે તેની સંભાવના કેટલી છે?
ચર્ચા:
તે જાણીતું છે:
– \( P(A) = 0.60 \)
– \( પી(બી) = ૦.૪૦ \)
– \( P(A \cap B) = 0.15 \)
બે પરસ્પર વિશિષ્ટ ઘટનાઓ ઉમેરવાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
\[ P(A \કપ B) = 0.75 \]
તેથી, વ્યક્તિને પુસ્તકો વાંચવાનું કે ફિલ્મો જોવાનું ગમે છે તેની સંભાવના 0.75 અથવા 75% છે.
પ્રશ્ન ૪: એક રેસ્ટોરન્ટમાં થયેલા સર્વેક્ષણમાંથી, ૫૫% ગ્રાહકોએ પિઝા (ઇવેન્ટ A), ૩૫% ગ્રાહકોએ પાસ્તા (ઇવેન્ટ B) અને ૨૦% ગ્રાહકોએ બંનેનો ઓર્ડર આપ્યો. ગ્રાહક પિઝા અથવા પાસ્તાનો ઓર્ડર આપે તેવી સંભાવના કેટલી છે?
ચર્ચા:
તે જાણીતું છે:
– \( P(A) = 0.55 \)
– \( પી(બી) = ૦.૪૦ \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
બે પરસ્પર વિશિષ્ટ ઘટનાઓ ઉમેરવાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cup B) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
\[ P(A \કપ B) = 0.70 \]
તો, ગ્રાહક પિઝા કે પાસ્તા ઓર્ડર કરે તેવી સંભાવના 0.70 અથવા 70% છે.
કેસિમ્પુલન
સંભાવનાનો અભ્યાસ કરતી વખતે, એક અથવા બંને ઘટનાઓ એકસાથે બનવાની સંભાવના નક્કી કરવા માટે બે બિન-વિશિષ્ટ ઘટનાઓ A અને B ના ઉમેરાનો નિયમ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બે ઘટનાઓની સંયુક્ત સંભાવનાની ગણતરી કરવાનું સરળ બને છે જેમાં છેદન અથવા સામાન્ય તત્વ હોય છે.
ઉપરોક્ત ઉદાહરણો દ્વારા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ ગણતરીના મૂળભૂત પગલાંઓને સમજવાથી આપણે તેને વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં લાગુ કરી શકીએ છીએ, પછી ભલે તે શિક્ષણમાં હોય, સર્વેક્ષણોમાં હોય કે રોજિંદા જીવનમાં હોય. સંભાવનાની યોગ્ય ગણતરી કરવા માટે કયા ઘટનાઓમાં તત્વો વહેંચાયેલા છે તે ઓળખવામાં સ્પષ્ટતા અને ચોકસાઈ મહત્વપૂર્ણ છે. તેથી, સુસંગત અભ્યાસ અને મૂળભૂત ખ્યાલોની સમજ આ વિષયમાં નિપુણતા મેળવવામાં ખૂબ મદદ કરશે.
