Movemento do proxectí: problemas e solucións

27 Movemento do proxectí: problemas e solucións

1. Dispárase unha bala cun ángulo θ = 60 ^° cunha velocidade de 20 m/s. A aceleración debida á gravidade é de 10 m/s² ^. Cal é o intervalo de tempo para alcanzar a altura máxima?

Coñecido:

A velocidade inicial da bala (v _o ) = 20 m/s

Ángulo (θ) = 60 ^° C

Aceleración da gravidade (g) = 10 ms ^–2

Buscado: O intervalo de tempo para alcanzar a altura máxima

Solución:

A velocidade inicial na dirección horizontal (eixe x):

v _ox = v _o cos 60 ^o = (20)(0.5) = 10 m/s

A velocidade inicial na dirección vertical (eixe y):

v _oy = vo sen 60 ^o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s

O intervalo de tempo para alcanzar a altura máxima, calculado mediante esta ecuación:

v _ty = v _oy + gt

v _ty = a velocidade final na dirección vertical = a velocidade final no punto máis alto = 0 m/s

v _oy = a velocidade inicial na dirección horizontal = 10√3 m/s

g = aceleración da gravidade = 10 m/ ^s²

t = intervalo de tempo

O intervalo de tempo:

v _ty = v _oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

10√3 = 10 t

t = 10√3 / 10

t = √3 segundos

2. Un obxecto proxectado nun ángulo. A altura do obxecto é a mesma cando o intervalo de tempo = 1 segundo e 3 segundos. Cal é o intervalo de tempo do obxecto no aire?

Solución:

O obxecto no aire durante 4 segundos.

3. Un avión móvese horizontalmente a unha velocidade de 50 m/s. Á altura de 2 km, déixase caer un obxecto do avión. Aceleración da gravidade = 10 m/ s2, cal é o intervalo de tempo antes de que o obxecto toque o chan?

Coñecido:

Altura = 2 km = 2000 metros

Aceleración da gravidade (g) = 10 m/ ^s²

Buscado: O intervalo de tempo (t)

Solución:

h = 1/2 ^gt²

2000 = 1/2 (10) ^t²

2000 = 5 ^t²

t2 = 2000/5 = ⁴⁰⁰

t = √400 = 20 segundos

4. Un balón de fútbol americano chutado sae do chan cun ángulo θ = 45 ^° , tendo a horizontal unha velocidade inicial de 25 m/s. Determina a distancia de X. A aceleración debida á gravidade é de 10 m/ ^s².

Coñecido:

Velocidade inicial (v _o ) = 25 m/s

Aceleración da gravidade (g) = 10 m/ ^s²

Ángulo (θ) = 45 ^°

Buscase: X

Solución:

A compoñente horizontal da velocidade inicial:

v _ox = v _o cos θ = (25 m/s)(cos 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

A compoñente vertical da velocidade inicial:

v _oy = v _o sen θ = (25 m/s)(sen 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

O movemento dun proxectí pódese comprender analizando os compoñentes horizontais e verticais do movemento por separado. O movemento x ocorre a velocidade constante e o movemento y ocorre a aceleración da gravidade constante.

Tempo no aire (t):

O tempo no aire calcúlase coa ecuación do movemento vertical ascendente.

Escolle a dirección ascendente como positiva e a dirección descendente como negativa.

Coñecido:

A velocidade inicial (v _o ) = 12.5 √2 m/s (dirección ascendente, positiva)

Aceleración debida á gravidade (g) = -10 m/s² ⁽ dirección descendente, negativa)

Altura (h) = 0

Buscado: Intervalo de tempo (t)

Solución:

h = v _o t + 1/2 gt ^{​​​​2}

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) ^t²

0 = 12.5√² t – 5 ^t²

12.5√² t = 5 ^t²

12.5√2 = 5 t

t = 12.5√2 / 5

t = 2.5√2 segundos

A distancia horizontal (X):

Calculado usando a ecuación do movemento lineal uniforme con velocidade constante.

Coñecido:

Velocidade (v) = 12.5 √2 m/s

Intervalo de tempo (t) = 2.5 √2 segundos

Buscase: Distancia

Solución:

d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 metros

5. Un obxecto proxectado cara arriba nun ángulo θ = 30 ^° coa horizontal ten unha velocidade inicial de 20 m/s. A aceleración debida á gravidade é de 10 m/s² ^. Determina a altura máxima.

Coñecido:

A velocidade inicial (v_o) = 20 m/s

Aceleración da gravidade (g) = 10 m/ ^s²

Ángulo (θ) = 30 ^°

Buscado : Altura máxima

Solución:

Primeiro, atope a compoñente vertical da velocidade inicial (v _oy ):

v _oy = v _o sen 30 ^o = (20)(sen 30 ^o ) = (20)(0.5) = 10 m/s

Calcula a altura máxima. Escolle a dirección cara arriba como positiva e a dirección cara abaixo como negativa.

Coñecido:

Aceleración debida á gravidade (g) = -10 m/s² ⁽ dirección descendente, negativa )

A compoñente vertical da velocidade inicial (v _oy ) = 10 m/s ( dirección ascendente, positiva )

Velocidade á altura máxima (v _ty ) = 0

Buscada: Altura máxima (h)

Solución:

v _t² = v ^o² ₊ ² gh

0 ² = 10 ² + 2 (-10) h

0 = 100 – 20 h

100 = 20 horas

h = 100/20

h = 5 metros

A altura máxima é de 5 metros.

6. Lánzase un obxecto cun certo ángulo de elevación. A altura do obxecto é a mesma despois de 1 segundo e 3 segundos. Determina o tempo no aire.

A. 3.6 segundos

B. 4.0 segundos

C. 5.6 s

D. 6.4 segundos

solución

Tempo no aire = 4 segundos.

A resposta correcta é B.

7. Unha aeronave móvese horizontalmente a unha velocidade de 50 m/s. Cando a aeronave está a unha altura de 2 km, un obxecto pode caer libremente da aeronave. Determina o tipo de movemento.

A. Movemento de caída libre

B. Movemento flotante

C. Movemento horizontal

D. Movemento do proxectí

Solución:

O obxecto déixase caer desde o plano en movemento porque ten a mesma velocidade que a velocidade do avión, é dicir, 50 m/s. O movemento de obxectos non é como o movemento en caída libre, senón como o movemento parabólico. O caso é o mesmo que se deixan caer obxectos desde o interior dun coche en movemento.

A resposta correcta é D.

8. Lánzase unha pelota horizontalmente a 15 m/s desde un cantil de 60 metros de altura. Canto tempo tarda en tocar o chan?
Solución: Usando \( h = \frac{1}{2} gt^2 \), atopamos que o tempo é \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \).

9. Lánzase un proxectil cun ángulo de 30° sobre a horizontal e cunha velocidade inicial de 20 m/s. Cal é a altura máxima alcanzada?
Solución: Usando \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \), a altura máxima é \( h \approx 10.2\ \text{m} \).

10. Lánzase unha pedra horizontalmente a 10 m/s desde unha torre de 80 metros de altura. Calcula a distancia horizontal que percorre antes de tocar o chan.
Solución: Usando o tempo calculado dun xeito similar ao do problema 1, a distancia horizontal é \( d = vt \approx 40\ \text{m} \).

11. Dispara unha bala de canón a 40 m/s cun ángulo de 45°. Calcula o tempo de voo.
Solución: Usando \(t = \frac{2v \sin \theta}{g} \), o tempo de voo é \(t \approx 5.8\ \text{s} \).

12. Lánzase unha pelota de béisbol a un ángulo de 60° cunha velocidade de 12 m/s. Calcula o alcance horizontal.
Solución: Usando \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \), o rango é \( R \approx 14.0\ \text{m} \).

13. Lánzase un proxectil cunha velocidade inicial de 50 m/s a 37° sobre a horizontal. Cal é a compoñente da velocidade vertical?
Solución: A compoñente vertical é (v_y = v \sin \theta \approx 30 m/s).

14. Lánzase un proxectil horizontalmente a 20 m/s desde unha altura de 100 metros. Cal é a velocidade vertical xusto antes de que toque o chan?
Solución: Usando \(v_y = \sqrt{2gh} \), a velocidade vertical é \(v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \).

15. Lánzase unha rocha cun ángulo de 25° sobre a horizontal e cunha velocidade inicial de 15 m/s. Cales son as compoñentes horizontal e vertical da velocidade?
Solución: A compoñente horizontal é (v_x = v cos θ = 13.4 m/s) e a compoñente vertical é (v_y = 6.4 m/s).

16. Un balón de fútbol é chutado cunha velocidade inicial de 30 m/s nun ángulo de 40° sobre a horizontal. Cal é a súa compoñente de velocidade horizontal?
Solución: A compoñente horizontal é (v_x = v cos θ \approx 22.9 m/s).

17. Golpéase unha pelota de golf cunha velocidade inicial de 70 m/s a un ángulo de 20°. Cal é o tempo de voo?
Solución: Usando a ecuación do tempo de voo, o tempo é \( t \approx 4.9\ \text{s} \).

18. Un proxectil lánzase desde o chan cunha velocidade de 25 m/s a 53° sobre a horizontal. Cal é a súa compoñente de velocidade vertical inicial?
Solución: A compoñente vertical é (v_y = v \sin \theta \approx 20 m/s).

19. Lánzase unha pelota de béisbol cunha velocidade inicial de 20 m/s cun ángulo de 50°. Cal é a altura máxima?
Solución: Usando a ecuación para a altura máxima, a altura é \( h \approx 15.3\ \text{m} \).

20. Dispárase unha bala horizontalmente cunha velocidade de 200 m/s desde unha altura de 10 metros. Canto tempo tarda en tocar o chan?
Solución: Usando a ecuación do tempo, o tempo é \( t \approx 1.4\ \text{s} \).

21. Dispara unha bala de canón a 45 m/s cun ángulo de 30°. Calcula o alcance.
Solución: Usando a ecuación do rango, o rango é \(R \approx 88.2\ \text{m} \).

22. Lánzase un balón de baloncesto cun ángulo de 75° e unha velocidade de 10 m/s. Calcula o seu alcance horizontal.
Solución: Usando a ecuación do rango, o rango é \(R \approx 5.3\ \text{m} \).

23. Lánzase un proxectil cunha velocidade inicial de 30 m/s a 22° por riba da horizontal. Cal é a velocidade vertical xusto antes de que toque o chan?
Solución: Usando a ecuación da velocidade vertical, a velocidade vertical é (v_y \approx 11.4 m/s).

24. Lánzase unha rocha horizontalmente a 8 m/s desde unha torre de 40 metros de altura. Cal é a distancia horizontal que percorre?
Solución: Usando a ecuación da distancia horizontal, a distancia é \( d \approx 16\ \text{m} \).

25. Un balón de fútbol é chutado cunha velocidade inicial de 12 m/s nun ángulo de 30° sobre a horizontal. Cales son as compoñentes horizontal e vertical da velocidade?
Solución: A compoñente horizontal é (v_x \approx 10.4\text{m/s}) e a compoñente vertical é (v_y \approx 6\text{m/s}).

26. Golpéase unha pelota de golf cunha velocidade inicial de 50 m/s a un ángulo de 15°. Cal é o tempo de voo?
Solución: Usando a ecuación do tempo de voo, o tempo é \( t \approx 2.6\ \text{s} \).

27. Un proxectil lánzase desde o chan cunha velocidade de 40 m/s a 60° sobre a horizontal. Cal é a súa compoñente de velocidade horizontal inicial?
Solución: A compoñente horizontal é (v_x = v cos θ \approx 20 m/s).