Método de busca de raíces de Newton Raphson
Pendahuluan
O método de Newton-Raphson é un método numérico eficiente para atopar solucións aproximadas a ecuacións non lineais. Foi introducido por primeira vez por Isaac Newton e posteriormente refinado por Joseph Raphson. En matemáticas e computación, o método de Newton-Raphson é un método iterativo empregado para atopar as raíces dunha función real.
Continúa lendo este artigo para comprender os principios básicos do método de Newton-Raphson, os seus pasos detallados, a súa aplicación en varios casos e as súas vantaxes e desvantaxes.
Principios básicos do método de Newton-Raphson
Esencialmente, o método de Newton-Raphson ten como obxectivo estimar as raíces da ecuación `f(x) = 0`. Este método comeza cunha estimación inicial de `x0`. A partir deste punto, obtense unha mellor estimación das raíces usando a derivada da función.
Matematicamente, o método de Newton-Raphson exprésase coa seguinte fórmula:
\[ x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]
Onde:
– \( x_{n+1} \) é o seguinte punto estimado.
– \(x_n\) é o punto estimado actual.
– \(f(x_n) \) é o valor da función en \(x_n \).
– \( f'(x_n) \) é o valor da derivada da función en \( x_n \).
A fórmula baséase nunha aproximación lineal dunha función complexa, onde esta aproximación lineal se toma como a liña tanxente no punto de aproximación actual. Esta liña tanxente proporciona entón unha intersección co eixe x que será unha mellor aproximación da raíz na seguinte iteración.
Pasos de Newton-Raphson
Os pasos principais do método de Newton-Raphson son os seguintes:
1. Escolla unha estimación inicial: Comece cun valor inicial \(x_0 \). O valor inicial escollido afectará en gran medida á converxencia deste método.
2. Avaliar funcións e as súas derivadas: calcular o valor da función e o valor da derivada da función no punto \(x_n\).
3. Calcula a seguinte estimación: Usa a fórmula de Newton-Raphson para obter o seguinte valor estimado \( x_{n+1} \).
4. Comprobación da converxencia: comproba se o valor estimado de \( x_{n+1} \) é o suficientemente próximo á raíz real usando un criterio de parada, como por exemplo:
– A variación absoluta entre dúas iteracións \( |x_{n+1} – x_n| \) é pequena.
– O valor da función no punto aproximado próximo a cero \( |f(x_{n+1})| \) é pequeno.
5. Repetir: Se non se cumpren os criterios de parada, volver ao paso 2 substituíndo \( x_n \) por \( x_{n+1} \).
Este proceso iterativo continúa ata que se atopa unha solución suficientemente precisa.
Exemplos de aplicacións de Newton-Raphson
Apliquemos este método a un exemplo específico. Supoñamos que queremos atopar as raíces da ecuación \( f(x) = x^2 – 2 \).
Paso 1: Estimación inicial
Supoñamos que comezamos con \(x_0 = 1 \).
Paso 2: Avaliar a función e as súas derivadas
A función \(f(x) = x^2 – 2\) e a derivada da función \(f'(x) = 2x\).
Avaliación en \(x_0 = 1 \):
– \( f(x_0) = 1^2 – 2 = -1 \)
– (f'(x_0) = 2 × 1 = 2)
Paso 3: Calcular a seguinte estimación
Usando a fórmula de Newton-Raphson:
x_{1} = 1 – \frac{-1}{2} = 1 + 0.5 = 1.5
Paso 4: Comprobación da converxencia
Comproba a variación absoluta e o valor da función:
– \( |x_1 – x_0| = |1.5 – 1| = 0.5 \)
– \( |f(1.5)| = |1.5^2 – 2| = |2.25 – 2| = 0.25 \)
Pasamos á seguinte iteración porque non se cumpren os criterios.
Paso 5: Repetir
Avaliación en \(x_1 = 1.5 \):
– (f(x_1) = 1.5^2 – 2 = 0.25)
– (f'(x_1) = 2 × 1.5 = 3)
Usando de novo a fórmula de Newton-Raphson:
\[x_2 = 1.5 – \frac{0.25}{3} = 1.5 – 0.0833 = 1.4167 \]
Comproba a variación absoluta e o valor da función:
– \( |x_2 – x_1| = |1.4167 – 1.5| = 0.0833 \)
– \( |f(1.4167)| = |1.4167^2 – 2| \aprox. 0.0069 \)
Dado que a iteración non converxeu o suficiente, continuamos ata que se cumpran os criterios de parada.
Este proceso continuará ata que se alcance a converxencia.
Vantaxes e desvantaxes do método de Newton-Raphson
Exceso
1. Velocidade de converxencia: o método de Newton-Raphson ten unha velocidade de converxencia cuadrática, o que significa que o número de iteracións necesarias para achegarse á raíz é moi pequeno en comparación con outros métodos como o método da bisección ou o método da secante.
2. Precisión: este método é xeralmente máis preciso para atopar raíces se a estimación inicial está preto da raíz verdadeira.
3. Ampla aplicación: pódese aplicar a varios tipos de funcións, tanto polinómicas como non polinómicas.
Falta
1. Dependencia dos valores iniciais: o resultado final depende en gran medida do valor estimado inicial. Se a estimación está lonxe da raíz, o método pode fallar ou requirir moitas iteracións.
2. Debe coñecerse a derivada: este método require calcular a derivada da función, o que pode ser difícil ou pouco práctico para algunhas funcións complexas.
3. Non robusto: este método non sempre converxe. Hai algunhas condicións especiais baixo as que este método pode fallar, como se a función ten un punto crítico ou un cambio significativo na derivada.
Conclusión
O método de Newton-Raphson é unha ferramenta poderosa na computación numérica que nos permite atopar de forma rápida e precisa as raíces dunha ecuación non lineal. Non obstante, como todos os métodos numéricos, ten limitacións e situacións nas que pode non funcionar ben. Un coñecemento profundo das funcións e derivadas, así como a selección dos valores iniciais axeitados, son fundamentais para usar este método con éxito.
Cunha comprensión e aplicación axeitadas, o método de Newton-Raphson pode ser unha solución eficiente para varios problemas de busca de raíces en matemáticas e informática.
