Foirmle airson Sgaoileadh Àbhaisteach ann an Staitistig
Ann an saoghal nan staitistig, ’s e an sgaoileadh àbhaisteach aon de na sgaoilidhean coltachd as cudromaiche agus as fharsainge a thathas a’ cleachdadh. Air aithneachadh mar an sgaoileadh Gaussian, air ainmeachadh às dèidh Carl Friedrich Gauss, tha an sgaoileadh àbhaisteach a’ toirt cunntas iomchaidh air measgachadh de thachartasan nàdarra agus dàta saidheansail. Tha an lùb clag-chruthach a tha a’ comharrachadh an t-sgaoilidh seo uile-làthaireach anns na saidheansan sòisealta, saidheansan nàdarra, ionmhas, agus mòran raointean eile. Bidh an artaigil seo a’ sgrùdadh iom-fhillteachd foirmle an t-sgaoilidh àbhaisteach, a feartan, agus a cleachdaidhean.
A’ Tuigsinn Sgaoileadh Àbhaisteach
'S e sgaoileadh coltachd leantainneach a th' ann an sgaoileadh àbhaisteach a tha co-chothromach mun mheadhan aige, a' sealltainn gu bheil dàta faisg air a' mheadhan a' tachairt nas trice na dàta fada bhon mheadhan. Tha an sgaoileadh air a mhìneachadh le dà pharaimeatair:
1. Meadhan (μ): Claonadh meadhanach an t-sgaoilidh. ’S e mullach lùb a’ chlag a th’ ann agus tha e a’ riochdachadh luach cuibheasach an t-seata dàta.
2. Claonadh Coitcheann (σ): Tha seo a’ tomhas sgapadh no sgaoileadh nam puingean dàta timcheall air a’ chuibheasachd. Tha claonadh àbhaisteach beag a’ ciallachadh gu bheil na puingean dàta faisg air a’ chuibheasachd, agus tha claonadh àbhaisteach mòr a’ ciallachadh gu bheil na puingean dàta sgapte thairis air raon nas fharsainge.
Foirmle airson Sgaoileadh Àbhaisteach
Tha gnìomh dùmhlachd coltachd (PDF) de chuairteachadh àbhaisteach air a riochdachadh gu matamataigeach mar:
[f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}]
Far a bheil:
– ’S e (f(x | μu, sigma²)) gnìomh dùmhlachd na coltachd.
– ’S e \(x \) an luach airson a bheil thu a’ tomhas dùmhlachd na coltachd.
– ’S e \( \mu \) meadhan an t-sgaoilidh.
– ’S e \( \sigma \) an claonadh àbhaisteach.
– Is e \( \sigma^2 \) caochlaideachd an t-sgaoilidh.
– ’S e \(e \) bonn an logaritam nàdarra, co-ionann ri 2.71828.
– ’S e π an luach tairiseach pi, co-ionann ri 3.14159.
Tha am foirmle a’ gabhail a-steach gnìomh eas-chruthach anns a bheil eadar-dhealachadh ceàrnagach eadar \(x \) agus a’ chuibheasachd \(\mu \), air a sgèileadh leis an atharrachadh. Tha an ro-fhactar \( \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \) a’ dèanamh cinnteach gu bheil an raon iomlan fo lùb a’ PDF co-ionann ri 1, a’ sàsachadh an riatanas airson sgaoileadh coltachd.
Feartan an t-Sgaoilidh Àbhaisteach
co-chothromachd
Is e prìomh fheart den t-sgaoileadh àbhaisteach a cho-chothromachd timcheall air a’ mheadhan _( \mu \). Tha seo a’ ciallachadh gu bheil na luachan air taobh clì is deas a’ mheadhain nan ìomhaighean sgàthan. Mar thoradh air an sin, tha am meadhan agus am modh de sheata dàta a tha air a sgaoileadh gu h-àbhaisteach co-ionann ris a’ mheadhan.
Riaghailt Empirigeach (Riaghailt 68-95-99.7)
’S e foirmle ghoirid a th’ anns an riaghailt empirigeach airson cuimhneachadh air a’ cheudad de luachan a tha taobh a-staigh còmhlan timcheall air a’ chuibheasachd ann an sgaoileadh àbhaisteach:
– Tha timcheall air 68% den dàta a’ tuiteam taobh a-staigh aon chlaonadh àbhaisteach (\( \mu \pm \sigma \)).
– Tha mu 95% den dàta taobh a-staigh dà chlaonadh àbhaisteach (\( \mu \pm2\sigma \)).
– Tha faisg air 99.7% den dàta taobh a-staigh trì claonaidhean àbhaisteach (\( \mu \pm 3\sigma \)).
Earball Asimptotach
Bidh earbaill lùb sgaoilidh àbhaisteach a’ tighinn faisg air an ais chòmhnard gu neo-shiomptaigeach. Tha seo a’ ciallachadh, mar a ghluaiseas tu nas fhaide air falbh bhon mheadhan, gu bheil an coltachd gun coinnich thu ri luachan fìor a’ lùghdachadh ach nach ruig e neoni gu bràth.
Sgaoileadh Àbhaisteach Coitcheann
’S e cùis shònraichte den t-sgaoileadh àbhaisteach a th’ anns an sgaoileadh àbhaisteach far a bheil a’ chuibheasachd _(\mu \) co-ionann ri neoni agus an claonadh àbhaisteach _(\sigma \) co-ionann ri aon. Is e gnìomh dùmhlachd coltachd an t-sgaoilidh àbhaisteach:
\[ \phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} \]
Far a bheil \(z \) na luach àbhaisteach a tha a’ riochdachadh an àireamh de chlaonaidhean àbhaisteach air falbh bhon mheadhan. Faodar cruth-atharrachadh a dhèanamh air sgaoileadh àbhaisteach sam bith gu sgaoileadh àbhaisteach àbhaisteach le bhith a’ cleachdadh foirmle sgòr-Z:
\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]
Tha an sgòr-Z a’ riochdachadh cia mheud claonadh àbhaisteach a tha eileamaid \(x \) bhon mheadhan. Leigidh e le coimeas a dhèanamh eadar diofar sgaoilidhean àbhaisteach agus clàran sgaoilidh àbhaisteach a chleachdadh gus coltachdan agus luachan èiginneach a lorg.
Tagraidhean Sgaoilidh Àbhaisteach
Ann an Rannsachadh agus Acadaimigich
Ann an rannsachadh, bidh mion-sgrùdadh agus mìneachadh dàta gu tric a’ gabhail ris gu bheil an sgaoileadh àbhaisteach, gu h-àraidh air sgàth Teoirim na Crìochan Meadhanach. Tha an teòirim seo ag ràdh, ma tha meud sampall mòr gu leòr ann, gum bi sgaoileadh samplachaidh a’ chuibheasaich air a sgaoileadh gu ìre àbhaisteach, ge bith dè an cumadh a th’ air sgaoileadh an t-sluaigh.
Ann an Ionmhas agus Eaconamas
Bidh luchd-anailis ionmhais a’ cleachdadh an t-sgaoilidh àbhaisteach gus modalan a dhèanamh de thilleadh is chunnartan maoin. Bidh an sgaoileadh a’ cuideachadh le riaghladh phasgan, prìsean roghainnean, agus modalan measadh chunnartan. A bharrachd air an sin, faodar iomadh rud eaconamach, leithid sgaoileadh teachd-a-steach no toraidhean margaidh, a thomhas gu tric le bhith a’ cleachdadh an t-sgaoilidh àbhaisteach.
Smachd Càileachd agus Dèanamh
Ann an smachd càileachd, thathar a’ cleachdadh an sgaoileadh àbhaisteach gus pròiseasan a sgrùdadh agus a smachdachadh. Le bhith a’ measadh nan claonaidhean àbhaisteach bhon mheadhan, faodaidh luchd-saothrachaidh lochdan a chomharrachadh agus dèanamh cinnteach gu bheil càileachd toraidh fhathast taobh a-staigh chomharrachaidhean iomchaidh.
Anns an Roinn Slàinte
Tha an sgaoileadh àbhaisteach air a chleachdadh ann an cùram slàinte airson mìneachadh thomhasan bith-eòlasach. Bidh caochladairean leithid àirde dhaoine, bruthadh-fala, agus tomhas comasan inntinneil gu tric a’ leantainn pàtran sgaoilidh àbhaisteach. Bidh seo a’ cuideachadh le bhith a’ suidheachadh chomharran-tomhais agus a’ lorg shuidheachaidhean slàinte.
Co-dhùnadh
Tha an sgaoileadh àbhaisteach, leis na feartan matamataigeach eireachdail aige agus na diofar chleachdaidhean aige, fhathast na phàirt riatanach de mhion-sgrùdadh staitistigeil. Tha am foirmle aige a’ glacadh brìgh mòran de thachartasan nàdarra is sòisealta, a’ toirt seachad lèirsinn agus a’ cuideachadh ann am pròiseasan co-dhùnaidh thar diofar raointean. Ge bith an ann tro rannsachadh, ionmhas, smachd càileachd, no cùram slàinte, faodaidh tuigse agus cleachdadh an t-sgaoilidh àbhaisteach leantainn gu toraidhean nas fiosraichte agus nas cruinne.
