A’ Tuigsinn Tùs Àireamhan Iom-fhillte
Tha saoghal na matamataig air ath-lìonadh le bun-bheachdan a tha, air an uachdar, a’ coimhead eas-chruthach agus mì-thuigseach, dìreach airson iad fhèin a nochdadh mar fhrèamaichean air leth eireachdail agus riatanach airson an saoghal a thuigsinn. Is e aon bhun-bheachd mar sin bun-bheachd àireamhan iom-fhillte. Dh’ fhaodadh na h-àireamhan sin, anns a bheil pàirt fhìor agus pàirt mac-meanmnach, a bhith coltach ri dìomhair an toiseach. Ach, tha freumhan domhainn aca ann an eachdraidh na matamataig agus tha dreuchdan cudromach aca ann an raointean cho eadar-dhealaichte ri innleadaireachd, fiosaig, agus giullachd chomharran. Gus an cudromachd a thuigsinn, tha e riatanach an tùsan a lorg agus an leasachadh a thuigsinn.
Tùs nan Àireamhan Mac-meanmnach
Tha sgeulachd nan àireamhan iom-fhillte a’ tòiseachadh leis a’ cho-aontar ceàrnagach. Bho seann amannan, tha matamataigich air co-aontaran den chruth _(x^2 + bx + c = 0) fhuasgladh. Ach, tha fuasglaidhean anns a bheil freumhan ceàrnagach àireamhan àicheil fhathast duilich a lorg agus troimh-chèile. Mar eisimpleir, chomharraich am matamataigiche Grèigeach àrsaidh Diophantus fuasglaidhean anns an robh freumhan ceàrnagach àicheil ach chuir e às dhaibh mar rud nach gabhadh a dhèanamh. San aon dòigh, timcheall air an aon àm, rannsaich matamataigich anns na h-Innseachan agus Sìona co-aontaran poileanomach, a’ faighinn a-mach gu robh na freumhan àicheil duilich.
Cha b’ ann gus an 16mh linn a rinn am matamataigiche Eadailteach Gerolamo Cardano adhartas cudromach. Anns an obair chudromach aige Ars Magna (1545), thaisbean Cardano foirmle airson co-aontaran ciùbach fhuasgladh. Fhad ‘s a bha e ag obair air na co-aontaran seo, thachair e ri freumhan ceàrnagach àireamhan àicheil. Ged a bha e leisg gabhail ris na fuasglaidhean seo gu tur, cha do dhiùlt e iad gu tur. An àite sin, thug e fa-near gu robh iad ann agus eadhon gan làimhseachadh gu ailseabra, a’ cur na bunaite airson matamataigich nas fhaide air adhart gus na h-àireamhan ‘mac-meanmnach’ seo a sgrùdadh nas cudromaiche.
Leasachadh anns an 17mh agus an 18mh linn
Chaidh an teirm "samhlachail" a chruthachadh le René Descartes ann an 1637, agus b’ e teirm mhì-mhodhail a bh’ ann an toiseach airson cunntas a thoirt air na meudan sin a bha coltach ri bhith ficseanail. Ach, dh’fhan an teirm agus chaill e mean air mhean a bhrìgh mhì-mhodhail. Aig an aon àm, lean adhartas air adhart fhad ’s a thòisich matamataigich mar Rafael Bombelli a’ mìneachadh agus ag obair gu mionaideach leis na h-àireamhan sin.
Bha obair Bombelli deatamach. Anns an leabhar aige Algebra (1572), mhìnich Bombelli riaghailtean airson àireamhan mac-meanmnach a làimhseachadh. Sheall e mar a chuireas, a bheirear air falbh, agus eadhon iomadaichear na h-àireamhan sin, gu bunaiteach a’ leasachadh ailseabra tòiseachaidh airson àireamhan iom-fhillte. Bha obair Bombelli deatamach ann a bhith a’ dèanamh bun-bheachd nan àireamhan mac-meanmnach nas fhasa a ghabhail a-steach don choimhearsnachd matamataigeach.
Fhuair gabhail ri agus tuigse fhoirmeil air àireamhan iom-fhillte spionnadh mòr san 18mh linn tro tabhartasan matamataigich leithid Leonhard Euler agus Carl Friedrich Gauss. Bha Euler na phrìomh fhear ann a bhith a’ riochdachadh àireamhan iom-fhillte ann an cruth eas-chruthaichean. Thug e a-steach an comharradh \(i\) airson freumh ceàrnagach -1 agus stèidhich e foirmle ainmeil Euler \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\), a’ soilleireachadh ceangal domhainn eadar triantanachd agus eas-chruthachadh iom-fhillte.
Obair Cheannardach Gauss
Ged a shuidhich Euler an t-slighe, b’ e Gauss a thug seachad am bunait chruaidh airson àireamhan iom-fhillte. Tràth san 19mh linn, dhearbh Gauss Bun-theòirim Ailseabra, a tha ag ràdh gu bheil co-dhiù aon fhreumh iom-fhillte aig gach co-aontar poileanomach neo-sheasmhach. Chuir an teòirim seo cuideam air iomlanachd àireamhan iom-fhillte ann a bhith a’ fuasgladh cho-aontaran poileanomach agus dhaingnich e an àite ann an teòiridh matamataigeach.
Thug Gauss a-steach mìneachadh geoimeatrach àireamhan iom-fhillte cuideachd. Riochdaich e àireamhan iom-fhillte mar phuingean ann am plèana, ris an canar a-nis am plèana iom-fhillte no plèana Argand (air ainmeachadh às dèidh Jean-Robert Argand a mhìnich e gu neo-eisimeileach cuideachd). Dh’fhaodadh àireamh iom-fhillte _a + bi_ a bhith air a riochdachadh mar phuing le co-chomharran (a, b), far a bheil _a_ a’ riochdachadh a’ phàirt fhìor agus _b_ a’ riochdachadh a’ phàirt mac-meanmnach. Thug an riochdachadh geoimeatrach seo dòigh furasta air obrachaidhean àireamhan iom-fhillte a thuigsinn, leithid cur-ris, toirt air falbh, agus iomadachadh.
Àireamhan Co-fhillte san Linn Nuadh
Leis a’ bhun-stèidh a chuir Euler agus Gauss sìos, thàinig àireamhan iom-fhillte gu bhith nam pàirt riatanach de mhatamataig agus fhuair iad tagraidhean ann an grunn raointean saidheansail. Ann am fiosaig, gu sònraichte ann an electromagnetism agus meacanaig cuantamach, tha àireamhan iom-fhillte riatanach. Mar eisimpleir, tha gnìomh tonn ann am meacanaig cuantamach air a mhìneachadh le bhith a’ cleachdadh àireamhan iom-fhillte, a’ comasachadh obrachadh a-mach coltachdan agus tuairisgeul air feartan tonn ann am mìrean.
Ann an innleadaireachd, gu h-àraidh ann an innleadaireachd dealain, thathas a’ cleachdadh àireamhan iom-fhillte gus cuairtean AC a sgrùdadh. Bidh innleadairean a’ cleachdadh bun-bheachd nam fasaran, is iad sin àireamhan iom-fhillte a tha a’ riochdachadh gnìomhan sinusoidal, gus co-aontaran eadar-dhealaichte a tha a’ riaghladh giùlan cuairtean a dhèanamh nas sìmplidhe agus fhuasgladh. Tha an dòigh-obrach seo bunaiteach ann a bhith a’ dealbhadh agus a’ tuigsinn shiostaman leithid rèidiothan, telebhiseanan agus lìonraidhean cumhachd.
A bharrachd air sin, ann an giullachd chomharran, thathas a’ cleachdadh àireamhan iom-fhillte ann an anailis Fourier—dòigh matamataigeach a bhios a’ briseadh sìos gnìomhan no comharran gu triceadan. Tha seo deatamach airson mòran theicneòlasan, a’ gabhail a-steach algairidhean teannachaidh claisneachd is ìomhaigh leithid MP3an agus JPEGan.
Turas Leantainneach
Tha turas àireamhan iom-fhillte bho rud neònach matamataigeach gu bhith na chlach-oisinn ann an saidheans agus innleadaireachd an latha an-diugh na fhianais air cumhachd smaoineachadh eas-chruthach. Thòisich e mar oidhirp air co-aontaran a bha coltach do-dhèanta fhuasgladh, agus lean e gu leasachadh frèam-obrach matamataigeach le buaidhean farsaing.
An-diugh, tha sgrùdadh àireamhan iom-fhillte a’ sìor atharrachadh, a’ toirt buaidh air raointean leithid teòiridh caos, daineamaigs sreabhach, agus teòiridh àireamhan. Tha sgrùdadh nan feartan aca a’ toirt sealladh chan ann a-mhàin air iongantas matamataigeach ach cuideachd air an t-saoghal nàdarrach agus innleadaichte. Tha àireamhan iom-fhillte a’ cur nar cuimhne gu bheil a bhith a’ sireadh eòlais gu tric a’ tòiseachadh le bhith a’ gabhail ris an neo-aithnichte agus a’ ceasnachadh an rud do-dhèanta.
Gu bunaiteach, tha tùs agus leasachadh àireamhan iom-fhillte nan samhla air turas nas fharsainge smuaineachadh matamataigeach. Bho strì nan seann luchd-matamataig a’ dèiligeadh ri freumhan àicheil gu inntinnean àrda Euler agus Gauss a dh’fhosgail dìomhaireachd an t-sluaigh, tha àireamhan iom-fhillte a’ sealltainn mar as urrainn do bheachdan eas-chruthach leantainn gu tagraidhean practaigeach domhainn. Le bhith a’ tuigsinn an tùsan, tha sinn a’ cur luach air an leum bhon ‘mhac-meanmnach’ chun an iongantach an dà chuid ann an teòiridh agus cleachdadh.
