Díorthaigh Feidhmeanna Triantánacha
I matamaitic ardleibhéil, go háirithe calcalas, is minic a thagann muid ar fheidhmeanna trigonometric ar nós sine (sin), cosine (cos), secant (sec), cosecant (csc), tangant (tan), agus cotangant (cot). Sa chomhthéacs seo, tá sé ríthábhachtach go mbeadh a fhios agat díorthaigh na bhfeidhmeanna seo, go háirithe le haghaidh feidhmeanna san fhisic, san innealtóireacht, agus san eolaíocht ríomhaireachta. Mionsonrófar san alt seo conas díorthaigh na bhfeidhmeanna trigonometric seo a chinneadh.
Réamhrá ar Dhíorthaigh
Sula bpléimid díorthaigh feidhmeanna trigonaiméadracha, déanaimis athbhreithniú gairid ar choincheap an díorthaigh. Tugann díorthach feidhme dúinn ráta athraithe na feidhme sin i leith a hathróg neamhspleách. I dtéarmaí geoiméadracha, tugann díorthach feidhme f(x) ag pointe x fána, nó grádán, na líne tadhlaí leis an gcuar f(x) ag an bpointe sin.
Go matamaiticiúil, sainmhínítear an chéad díorthach den fheidhm f(x) mar seo a leanas:
[f'(x) = \lim_{Deltax \to 0} \frac{f(x + \Deltax) – f(x)}{\Deltax}]
Fanann an sainmhíniú seo mar a chéile i ndáiríre maidir le feidhmeanna triganaiméadracha, ach beidh sé níos éasca má tá roinnt díorthaigh bhunúsacha de fheidhmeanna triganaiméadracha bunúsacha ar eolas againn.
Díorthaigh de Fheidhmeanna Triantánacha Bunúsacha
1. Díorthach sine (sin x)
Tá an fheidhm sine ar cheann de na feidhmeanna trigonometric is bunúsaí. Is é cos x díorthach sin x. Díorthaítear é seo ó theorainneacha áirithe agus ó ailgéabar difreálach.
[ \frac{d}{dx}(sin x) = \cos x \]
Is é sin, má tá f(x) = sin x, ansin tá f'(x) = cos x.
2. Díorthach Cósín (cos x)
Is feidhm thriganaiméadrach bhunúsach eile í an cosín. Is é -sin x díorthach cos x.
[ \frac{d}{dx}(cos x) = -sin x \]
Is é sin, má tá f(x) = cos x, ansin tá f'(x) = -sin x.
3. Díorthach Tangent (tan x)
Is é an fheidhm tadhlaí an cóimheas idir an tsín agus an chomhshín. Is é sec^2 x díorthach tan x. Is féidir é seo a fháil trí úsáid a bhaint as riail an díorthaigh le haghaidh feidhmeanna ilchodacha (slabhra).
[ \frac{d}{dx}(\tanx) = ≤ sec² x \]
Is é sin, má tá f(x) = tan x, ansin tá f'(x) = sec² x.
4. Díorthach Cotangent (cot x)
Is é an cotangent inbhéart an tadhlaí. Is é -csc² x díorthach cot x.
[ \frac{d}{dx}(γος x) = -γος x \]
Is é sin, má tá f(x) = cotx, ansin tá f'(x) = -csc²x.
5. Díorthach Seicint (sec x)
Is í an fheidhm seicint inbhéart an chomhshínis. Is é sec x tan x díorthach sec x.
[ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \]
Is é sin, má tá f(x) = sec x, ansin tá f'(x) = sec x tan x.
6. Díorthach Cosecant (csc x)
Is í an fheidhm chóseiceach inbhéart an tsínis. Is é -csc x cot x díorthach csc x.
\[ \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \]
Is é sin, má tá f(x) = cscx, ansin tá f'(x) = -cscx agus cotx.
Feidhmiú Rialacha Díorthach ar Fheidhmeanna Triantánacha
Nuair a bheidh a fhios againn díorthaigh bhunúsacha feidhmeanna triganaiméadracha, is féidir linn leathnú chuig feidhmeanna níos casta ag baint úsáide as rialacha díorthacha amhail an riail slabhra, an riail táirge, agus an riail suime.
1. Riail na Slabhra
Úsáidtear an riail slabhra nuair a bhíonn feidhm againn atá ina comhdhéanamh de dhá fheidhm nó níos mó. Samplaí dá húsáid:
Má tá feidhm againn \(g(x) = \sin(3x^2) \), is féidir linn an riail slabhra a úsáid chun a díorthach a fháil:
[g'(x) = \frac{d}{dx}[sin(3x^2)]]
[ = \cos(3x^2) \cdot \frac{d}{dx}[3x^2] \]
[= \cos(3x^2) ≥ 6x]
[= 6x \cos(3x^2) \]
2. Rialacha Táirgí
Úsáidtear an riail táirge nuair a bhíonn feidhm againn ar toradh dhá fheidhm nó níos mó í. Samplaí dá húsáid:
Más h(x) = x^2 sin(x)), de réir riail an táirge:
[h'(x) = \frac{d}{dx}[x^2 \cdot \sin(x)]]
[ = x^2 ⋅ cos(x) + sin(x) ⋅ frac{d}{dx][x^2]]
[= x^2 \cos(x) + \sin(x) ≤ 2x]
[= x^2 \cos(x) + 2x \sin(x)]
3. Rialacha Uimhreacha
Úsáidtear an riail suime nuair a bhíonn feidhm againn arb ionann í agus suim dhá fheidhm nó níos mó. Samplaí dá húsáid:
Más rud é go bhfuil (f(x) = sin(x) + cos(x)):
[f'(x) = \frac{d}{dx}[sin(x) + \cos(x)]]
[ = \frac{d}{dx}[sin(x)] + \frac{d}{dx}[cos(x)]]
[ = cos(x) + (-sin(x))]
[ = \cos(x) – \sin(x) \]
Feidhmeanna Triantánacha Inbhéartacha agus a nDíorthaigh
Chomh maith leis na feidhmeanna trigonaiméadracha bunúsacha, tá feidhmeanna trigonaiméadracha inbhéartaithe againn freisin amhail sin^-1 x (arcsin x), cos^-1 x (arccos x), agus tan^-1 x (arctan x). Tá díorthaigh na bhfeidhmeanna seo tábhachtach freisin i bhfeidhmeanna calcalais.
Mar shampla:
– Díorthach arcsin x:
\[ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \]
– Díorthach arccos x:
[ \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \]
– Díorthach arctan x:
\[ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} \]
Conclúid
Is céim bhunúsach sa chalcalas é foghlaim díorthaigh feidhmeanna triantánacha. Soláthraíonn díorthaigh feidhmeanna bunúsacha amhail sin, cos, tan, cot, sec, agus csc bunús láidir chun fadhbanna níos casta a anailísiú agus a réiteach i réimse disciplíní. Ina theannta sin, cuidíonn tuiscint ar riail an tslabhra, riail an táirge, agus riail an tsuim linn déileáil le díorthaigh feidhmeanna níos casta. Tá an t-eolas seo thar a bheith luachmhar i go leor feidhmeanna praiticiúla agus teoiriciúla, lena n-áirítear fisic, innealtóireacht, agus eolaíocht ríomhaireachta.
