Foirmle Bernoulli: Prionsabail agus Feidhmeanna
Is coincheap bunúsach i meicnic sreabhán é prionsabal Bernoulli, a d'aimsigh Daniel Bernoulli, eolaí Eilvéiseach, sa 18ú haois. Míníonn an prionsabal seo an gaol idir luas sreabhadh sreabhán agus an brú laistigh den sreabhadh sin. Pléifidh an t-alt seo foirmle Bernoulli go mion, a coincheapa bunúsacha, díorthaigh mhatamaiticiúla, samplaí ríofa, agus a feidhmeanna sa saol laethúil.
Foirmle Bernoulli a Thuiscint
Deir foirmle Bernoulli go bhfuil méid na fuinnimh mheicniúil (fuinneamh poitéinsiúil, fuinneamh cinéiteach, agus brú) in aghaidh an aonaid toirte tairiseach ar fud an tsreafa i sreabhadh sreabhach idéalach (gan frithchuimilt). Deirtear an fhoirmle seo mar seo a leanas:
[P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{tairiseach} \]
Cá háit:
– Is é \(P \) brú an tsreabháin (i pascal, Pa),
– Is é \( \rho \) dlús an tsreabháin (i gcileagraim in aghaidh an mhéadair chiúbaigh, kg/m³),
– Is é \(v \) luas sreafa an tsreabháin (i méadair in aghaidh an tsoicind, m/s),
– Is é \(g \) an luasghéarú de bharr domhantarraingthe (i méadair in aghaidh an tsoicind chearnaigh, m/s²),
– Is é \(h \) airde an tsreabháin os cionn an tagartha (i méadair, m).
Prionsabal Bernoulli
Tá prionsabal Bernoulli bunaithe ar dhlí caomhnaithe fuinnimh. I sreabhadh sreabhán, ní mór don fhuinneamh iomlán i gcóras fanacht tairiseach mura gcuirtear aon fhuinneamh leis an gcóras ná mura mbaintear aon fhuinneamh as. Is éard atá san fhuinneamh iomlán in aghaidh an aonaid toirte ná:
1. Fuinneamh Brú (\(P \)): Fuinneamh de bharr brú sreabhán.
2. Fuinneamh Cinéiteach (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): Fuinneamh de bharr gluaiseacht sreabhach.
3. Fuinneamh Poitéinsiúil Imtharraingteach (\( \rho gh \)): Fuinneamh de bharr suíomh sreabháin i réimse imtharraingteach.
Díorthú Matamaiticiúil Foirmle Bernoulli
Chun tuiscint a fháil ar dhíorthú Foirmle Bernoulli, breithnímid eilimint bheag sreabhach ag gluaiseacht i sreabhadh le luas \(v \) ó phointe 1 go pointe 2. Mura nglacaimid leis nach bhfuil aon chaillteanas fuinnimh mar gheall ar fhrithchuimilt ná teas, ní mór go mbeadh an fuinneamh iomlán ag pointí 1 agus 2 mar an gcéanna.
Is é an fuinneamh iomlán ag pointe 1 (\(E_1 \)) ná:
[E₂ = P₂ + \frac{1}{1} \rho v₂^1 + \rho gh₂ \]
Is é an fuinneamh iomlán ag pointe 2 (\(E_2 \)) ná:
[E₂ = P₂ + \frac{1}{2} \rho v₂^2 + \rho gh₂ \]
Ós rud é go gcaithfidh an fuinneamh iomlán a bheith tairiseach:
[P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Seo an rud a thugtar Foirmle Bernoulli air.
Sampla Ríomha ag Úsáid Foirmle Bernoulli
Abair go bhfuil píopa cothrománach againn agus uisce ag sileadh ó phointe A go pointe B. Ag pointe A, is é 2 m/s luas an uisce agus is é 150,000 Pa an brú. Ag pointe B, is é 4 m/s luas an uisce. Is é 1000 kg/m³ dlús an uisce. Ríomh an brú ag pointe B.
Úsáid Foirmle Bernoulli:
[P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B \]
Ós rud é go bhfuil an píopa cothrománach, \(h_A = h_B \), mar sin is féidir \(\rho gh \) ag an dá phointe a neamhaird:
[P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]
Cuir na luachanna aitheanta ina n-ionad:
[150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Ríomh an fuinneamh cinéiteach ag an dá phointe:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[P_B = 152,000 – 8000 \]
[P_B = 144,000, Pa]
Mar sin, is é 144,000 Pa an brú ag pointe B.
Feidhmiú Phrionsabal Bernoulli
1. Eitleáin: Úsáidtear prionsabal Bernoulli i ndearadh sciathán eitleáin. Deartar cruth sciathán eitleáin sa chaoi is go bhfuil luas an aeir os cionn na sciatháin níos mó ná faoi bhun na sciatháin. Mar thoradh air sin, bíonn brú níos ísle os cionn na sciatháin agus brú níos airde faoi bhun na sciatháin, rud a chruthaíonn an t-ardaitheoir a ligeann don eitleán eitilt.
2. Feithiclí Rásaíochta: Úsáideann dearadh aerodinimiciúil feithiclí rásaíochta Prionsabal Bernoulli chun luas agus cobhsaíocht a mhéadú. Úsáidtear spoiléirí agus scaiptheoirí chun sreabhadh aeir a rialáil, rud a mhéadaíonn an fórsa anuas, rud a fheabhsaíonn tarraingt na feithicle ar an mbóthar.
3. Sreabhadh Fola sa Chorp: Baineann Prionsabal Bernoulli le sreabhadh fola trí shoithigh fola freisin. Is féidir difríochtaí i luas agus brú sreafa fola i gcodanna éagsúla den chorp a scrúdú chun riochtaí leighis a dhiagnóisiú.
4. Méadar Venturi: Gléas a úsáidtear chun ráta sreafa sreabhán i bpíopa a thomhas. Tá cuid ag cúngú ag méadar Venturi, rud a fhágann go méadaítear luas sreafa an tsreabháin agus go laghdaítear an brú de réir Phrionsabal Bernoulli. Úsáidtear an difríocht brú idir na codanna leathana agus cúnga chun an ráta sreafa a ríomh.
5. Spraeálaithe Cumhráin: Úsáideann spraeálaithe cumhráin nó spraeálaithe leachta prionsabal Bernoulli. Nuair a shéidtear aer trí fheadán caol, laghdaíonn an brú aeir timpeall cheann an fheadáin, ag tarraingt an leacht cumhráin suas tríd an bhfeadán agus á spraeáil mar cheo mín.
Fachtóirí a mbíonn tionchar acu ar Chur i bhFeidhm Phrionsabal Bernoulli
1. Frithchuimilt: I ndáiríre, níl sreabháin idéalach agus bíonn frithchuimilt inmheánach (slaodacht) ann i gcónaí a mbíonn cailliúint fuinnimh mar thoradh air. Fágann sé seo go bhfuil sé níos casta Prionsabal Bernoulli a chur i bhfeidhm.
2. Comhbhrúiteacht Sreabhán: Is fusa prionsabal Bernoulli a chur i bhfeidhm ar shreabháin neamh-chomhbhrúite (amhail uisce). I gcás gás nó sreabhán comhbhrúite, ní mór an chothromóid a choigeartú.
3. Suaitheadh: Baineann prionsabal Bernoulli le sreabhadh laminar (rialta). I sreabhadh suaiteach (neamhrialta), bíonn an anailís níos casta.
Cás-Staidéar: Úsáid Phrionsabal Bernoulli i nDearadh Sciathán Aerárthaí
Is sampla clasaiceach de Phrionsabal Bernoulli i mbun gnímh é dearadh sciatháin eitleáin. Ligeann cruth cuartha barr agus bun cothrom na sciatháin don aer sreabhadh níos tapúla thar an sciathán ná faoi. De réir Phrionsabal Bernoulli, bíonn brú níos ísle mar thoradh ar luas sreafa aeir níos airde thar an sciathán ná faoin sciathán. Cruthaíonn an difríocht brú seo an fórsa ardaithe a ligeann don eitleán eitilt.
Abair go bhfuil achar sciatháin 25 m² ag eitleán. Is é 70 m/s luas an aeir os cionn na sciatháin, agus 50 m/s faoi bhun na sciatháin. Is é 1.225 kg/m³ dlús an aeir. Ríomh an t-ardú mar thoradh air sin.
1. Ríomh an difríocht brú (\( ΔP \)) ag baint úsáide as Foirmle Bernoulli:
\[ P_{bun} – P_{barr} = \frac{1}{2} \rho (v_{barr}^2 – v_{bun}^2) \]
Cuir na luachanna aitheanta ina n-ionad:
[ΔP = (1/2) × 1.225 × (70² – 50²)]
[ΔP = (1/2) × 1.225 (4900 – 2500)]
[ΔP = 1/2 × 1.225 × 2400]
[ΔP = 1.225 × 1200]
[ΔP = 1470, Pa]
2. Ríomh an fórsa ardaithe (\( F_{ardú} \)):
\[ F_{ardú} = \Delta P \times A \]
[F_{ardú} = 1470, \text{Pa} \times 25, \text{m}^2 \]
\[ F_{ardaitheoir} = 36,750 \, \téacs{
N} \]
Mar sin, is é 36,750 niútan an fórsa ardaithe mar thoradh air sin.
Conclúid
Tá Prionsabal Bernoulli ar cheann de bhunphrionsabail na meicnic sreabhán, agus míníonn sé an gaol idir luas sreafa sreabhán agus brú. Trí Fhoirmle Bernoulli a thuiscint agus a chur i bhfeidhm, is féidir linn réimse córas a bhaineann le sreabhadh sreabhán a anailísiú agus a dhearadh, ó aerárthaí go méadair sreafa. Cé go mbíonn orainn fachtóirí cosúil le frithchuimilt agus suaiteacht a chur san áireamh go minic sa chleachtas, is uirlis riachtanach é Prionsabal Bernoulli fós chun dinimic sreabhán a thuiscint agus réitigh innealtóireachta éifeachtacha a dhearadh.
