Ceisteanna Samplacha agus Plé ar Veicteoirí Tríthoiseacha sa Chóras Comhordanáidí Cairtéiseacha
Is coincheap tábhachtach sa mhatamaitic agus sa fhisic iad veicteoirí tríthoiseacha, a úsáidtear go minic chun rudaí nó feiniméin a léiriú i spás tríthoiseach. Sa chóras comhordanáidí Cairtéiseach, léirítear na veicteoirí seo le trí chomhpháirt, ar a dtugtar de ghnáth \( (x, y, z) \). Pléifear san alt seo roinnt fadhbanna agus réitigh shamplacha a bhaineann le veicteoirí tríthoiseacha sa chóras comhordanáidí Cairtéiseach.
Veicteoirí Tríthoiseacha a Thuiscint
Is féidir veicteoir i spás tríthoiseach a chur in iúl mar \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\), áit a bhfuil:
– Is é \(A_x\) comhpháirt an veicteora feadh an ais-x.
– Is é \(A_y\) an chomhpháirt veicteora feadh an ais-y.
– Is é \(A_z\) an chomhpháirt veicteora feadh an ais-z.
Ceisteanna Samplacha agus Plé
Ceist 1: Oibríocht Suimithe Veicteoir
Agus dhá veicteoir tugtha, A = (2, -3, 4) agus B = (-1, 5, 2). Ríomh suim an dá veicteoir seo.
Plé:
Déantar suimiú dhá veicteoir \(\mathbf{A}\) agus \(\mathbf{B}\) trína gcomhpháirteanna comhfhreagracha a chur le chéile. Mar sin, tá againn:
\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)
\]
Cuir na luachanna veicteoir tugtha ina n-ionad:
\[
\mathbf{C} = (2 + (-1), -3 + 5, 4 + 2) = (1, 2, 6)
\]
Mar sin, is é toradh chur na veicteoirí A agus B le chéile ná C = (1, 2, 6).
Ceist 2: Oibríocht Dealú Veicteoir
Agus dhá veicteoir tugtha, \(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) agus \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\). Ríomh dealú an dá veicteoir seo, eadhon \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\).
Plé:
Déantar dhá veicteoir \(\mathbf{A}\) agus \(\mathbf{B}\) a dhealú trína gcomhpháirteanna comhfhreagracha a dhealú. Mar sin, tá againn:
\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} – \mathbf{B} = (A_x – B_x, A_y – B_y, A_z – B_z)
\]
Cuir na luachanna veicteoir tugtha ina n-ionad:
\[
\mathbf{D} = (4 – 5, 1 – (-3), -2 – 6) = (-1, 4, -8)
\]
Mar sin, is é toradh dhealú na veicteoirí A agus B ná D = (-1, 4, -8)).
Ceist 3: Oibríocht Iolraithe Scálair
Agus veicteoir A = (3, -2, 7) agus scálar k = 4 tugtha, ríomh toradh scálar na veicteoirí seo.
Plé:
Déantar scalár \(k\) a iolrú faoi veicteoir \(\mathbf{A}\) trí gach comhpháirt den veicteoir a iolrú faoin scalár sin. Dá bhrí sin, tá againn:
\[
\mathbf{E} = k \cdot \mathbf{A} = k \cdot (A_x, A_y, A_z) = (k \cdot A_x, k \cdot A_y, k \cdot A_z)
\]
Cuir na luachanna tugtha ina n-ionad:
\[
\mathbf{E} = 4 \cdot (3, -2, 7) = (4 \cdot 3, 4 \cdot -2, 4 \cdot 7) = (12, -8, 28)
\]
Mar sin, is é toradh iolrú an scaláir k faoin veicteoir A ná E = (12, -8, 28)).
Ceist 4: Fad Veicteoir
Ríomh fad (méid) an veicteora A = (1, 2, 2).
Plé:
Is féidir fad nó méid veicteora \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) a ríomh ag baint úsáide as an bhfoirmle:
\[
|\mathbf{A}| = \ sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]
Cuir na luachanna tugtha ina n-ionad:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
Mar sin, is é 3 fad an veicteora \(\mathbf{A}\).
Ceist 5: Táirge Ponc
Agus dhá veicteoir tugtha, A = (1, 0, -1) agus B = (2, 3, 4), ríomh toradh ponc an dá veicteoir seo.
Plé:
Déantar toradh ponc dhá veicteoir \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) agus \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) trí na comhpháirteanna comhfhreagracha a iolrú agus ansin iad a chur le chéile. Dá bhrí sin, tá againn:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]
Cuir na luachanna tugtha ina n-ionad:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-1 \cdot 4) = 2 + 0 – 4 = -2
\]
Mar sin, is é -2 toradh ponc na veicteoirí A agus B.
Ceist 6: Trastháirge
Agus dhá veicteoir tugtha, A = (1, 2, 3) agus B = (4, 5, 6), ríomh tras-tháirge an dá veicteoir seo.
Plé:
Déantar tras-tháirge dhá veicteoir \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) agus \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) ag baint úsáide as an bhfoirmle seo a leanas:
\[
A × B = ((A_y B_z – A_z B_y), (A_z B_x – A_x B_z), (A_x B_y – A_y B_x))
\]
Cuir na luachanna tugtha ina n-ionad:
\[
A × B = ((2⁻⁶ – 3⁻⁶), (3⁻⁶ – 1⁻⁶), (1⁻⁶ – 2⁻⁶)) = (12⁻⁶, 12⁻⁶, 5⁻⁶) = (-3, 6, -3)
\]
Mar sin, is é tras-tháirge na veicteoirí \(\mathbf{A}\) agus \(\mathbf{B}\) ná \(\mathbf{A} \mathbf{B} = (-3, 6, -3)\).
Conclúid
Is uirlisí riachtanacha iad veicteoirí tríthoiseacha sa chóras comhordanáidí Cairtéiseach i réimsí éagsúla eolaíochta agus innealtóireachta. Trí na samplaí agus na plé thuas, chonaiceamar conas oibríochtaí bunúsacha éagsúla a dhéanamh ar veicteoirí, amhail suimiú, dealú, iolrú scálach, agus táirgí ponc agus tras. Beidh tuiscint mhaith ar na coincheapa seo thar a bheith luachmhar ní hamháin sa mhatamaitic ach freisin in iarratais phraiticiúla san fhisic, san innealtóireacht agus san eolaíocht ríomhaireachta.
