Ceisteanna Samplacha a Phléann Veicteoirí Dhéthoiseacha i gCóras Comhordanáidí
Is cainníocht í veicteoir a bhfuil méid agus treo araon aici. Úsáidtear veicteoirí go minic i réimsí éagsúla matamaitice agus fisice chun feiniméin éagsúla a léiriú. San alt seo, pléifimid samplaí de veicteoirí dháthoiseacha i gcóras comhordanáidí.
Coincheapa Bunúsacha Veicteoirí i gCórais Chomhordanáidí
Is féidir veicteoir i gcóras comhordanáidí dháthoiseach a léiriú mar \(\vec{A} = (a_1, a_2)\), áit a seasann \(a_1\) don chomhpháirt x den veicteoir agus \(a_2\) don chomhpháirt y den veicteoir. Is féidir an veicteoir a dhí-chomhpháirtiú ina dhá chomhpháirt, eadhon an chomhpháirt x agus an chomhpháirt y.
Suimiú agus Dealú Veicteoir
Is é suimiú dhá veicteoir \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) agus \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) ná:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Cé go bhfuil an laghdú:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Iolrú Scálach
Más \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) agus más scalár é \(k\), ansin is é \(k\vec{A}\):
\[
k\vec{A} = (k₁α₁, k₁α₂)
\]
Méid Veicteoir
Is é méid nó fad an veicteora \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ná:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Veicteoir Aonaid
Is veicteoir aonaid é veicteoir a bhfuil fad aonaid amháin aige. Is é veicteoir aonaid \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ná:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
Ceisteanna Samplacha agus Plé
Ceist 1: Suimiú agus Dealú Veicteoirí
Tugtar dhá veicteoir mar seo a leanas: \(\vec{A} = (3, 4)\) agus \(\vec{B} = (1, 2)\). Faigh toradh \(\vec{A} + \vec{B}\) agus \(\vec{A} – \vec{B}\).
Plé:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
Ceist 2: Iolrú Scálach
Agus an veicteoir C = (2, -3) tugtha, ríomh (3 C) agus (-2 C).
Plé:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
Ceist 3: Méid Veicteoir
Ríomh méid an veicteora \(\vec{D} = (5, 12)\).
Plé:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Ceist 4: Veicteoirí Aonaid
Aimsigh veicteoir aonaid an veicteoir \(\vec{E} = (4, 3)\).
Plé:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]
Ceist 5: Suíomh agus Fad Veicteoirí
Is iad P(2, 3) agus Q(5, 7) dhá phointe sa phlána comhordanáide dháthoiseach. Faigh amach an veicteoir suímh ó phointe P go pointe Q agus an fad eatarthu.
Plé:
Is é an veicteoir suímh ó P go Q ná:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
Is é an fad idir pointí P agus Q ná:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Ceist 6: Toradh Táirge Dot
Más ionann F agus (-3, 4) agus G = (2, 1)), ríomh toradh ponc F G.
Plé:
Is é seo toradh ponc dhá veicteoir:
\[
\vec{F} \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
Ceist 7: Uillinn idir dhá veicteoir
Más H = (7, -4) agus I = (3, 0), faigh amach an uillinn idir an dá veicteoir.
Plé:
Chun an uillinn idir dhá veicteoir a chinneadh, úsáidimid an fhoirmle:
\[
\cos \heta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
Ar dtús, ríomh an táirge ponc \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
H = 7 ≈ 3 + (-4) ≈ 0 = 21 + 0 = 21
\]
Ansin, ríomh méideanna \(\vec{H}\) agus \(\vec{I}\):
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Cuir na luachanna seo isteach sa fhoirmle:
\[
\cos \heta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
Mar sin, (theta = cos^{-1} (frac{7}{qrt{65})).
Ceist 8: Teilgean Veicteoir
I gcás na veicteoirí J = (2, 1) agus K = (-1, 3)), ríomh teilgean J ar K.
Plé:
Is é teilgean \(\vec{J}\) ar \(\vec{K}\) ná:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \right) \vec{K}
\]
Ar dtús, ríomh an táirge ponc \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
Ansin, méid \(\vec{K}\):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Mar sin,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Cuir isteach sa fhoirmle:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
Seo samplaí de fhadhbanna agus plé a bhaineann le veicteoirí dháthoiseacha i gcóras comhordanáidí. Is féidir le tuiscint mhaith ar veicteoirí a bheith ina chuidiú i go leor feidhmeanna sa mhatamaitic, san fhisic agus san innealtóireacht. Is féidir le cleachtadh le samplaí éagsúla do thuiscint ar an gcoincheap seo a dhoimhniú, rud a ligeann dó a bheith i bhfeidhm go héifeachtach i réimse cásanna.
