Ceisteanna agus Plé Samplacha: Athraitheas agus Diall Caighdeánach Sonraí Aonair
Is brainse den mhatamaitic í an staitistic a bhaineann le bailiú, anailís, léirmhíniú, cur i láthair agus eagrú sonraí. Is iad an t-athraitheas agus an diall caighdeánach dhá choincheap thábhachtacha sa staitistic. Pléifear san alt seo go mion conas an t-athraitheas agus an diall caighdeánach i dtacar sonraí aonair a ríomh trí roinnt fadhbanna samplacha.
Tuiscint ar Éagsúlacht agus ar Dhiall Caighdeánach
Is beart é an t-athraitheas a chainníochtú cé chomh fada agus atá na huimhreacha i dtacar sonraí scaipthe ón meán nó ón meán. Léirítear an t-athraitheas in aonaid chearnacha de na sonraí bunaidh, rud a fhágann go mbíonn sé deacair go minic é a léirmhíniú.
Is é an diall caighdeánach fréamh chearnach an athraitheas. Soláthraíonn sé tomhas níos iomasach ar cé chomh fada agus a imíonn na sonraí ón meán i gcoitinne toisc go bhfuil a aonaid mar an gcéanna leis na haonaid bhunaidh sna sonraí.
Foirmle Ghinearálta
I gcás sonraí aonair, seo a leanas an fhoirmle don athraitheas \( \sigma^2 \) agus don diall caighdeánach \( \sigma \) den daonra:
1. Athraitheas (σ²):
(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Diall Caighdeánach (σ):
(\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2})
An mana:
– Is é \(N \) líon na sonraí sa daonra.
– Is é \(x_i \) an luach sonraí i-ú.
– Is é \( \mu \) meán na sonraí.
Má ríomhaimid an t-athraitheas agus an diall caighdeánach den sampla, déantar an fhoirmle thuas a mhodhnú beagán:
1. Athraitheas Samplach (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2)
2. Diall Caighdeánach Samplach (í):
(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2})
An mana:
– Is é \(n \) líon na sonraí sa sampla.
– Is é \( \bar{x} \) meán an tsampla.
Ceisteanna Samplacha agus Plé
Ceist Shamplach 1:
Agus na sonraí seo a leanas á gcur san áireamh:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Ríomh an t-athraitheas agus an diall caighdeánach sna sonraí!
Céimeanna Réitigh:
1. An Meánluach a Ríomh (Mean) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Ríomh an difríocht idir na sonraí agus an meán, ansin cearnóg:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Torthaí Cearnógacha Uile a Chur le chéile:
\[
\ suim (x_i – \mu)^ 2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Ríomh na hAthraitheachta (σ²) ar Shonraí Daonra:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Nóta: Ós rud é go luaitear na sonraí seo mar shonraí daonra, roinnimid iad faoi 6.
5. Ag Ríomh an Diall Chaighdeánaigh (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \thart ar 1.886
\]
Mar sin, is é 3.559 athraitheas na sonraí agus is é 1.886 an diall caighdeánach.
Ceist Shamplach 2:
Agus na sonraí samplacha seo a leanas á gcur san áireamh:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Ríomh an t-athraitheas agus an diall caighdeánach den sampla!
Céimeanna Réitigh:
1. An Meánluach a Ríomh \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Ríomh an difríocht idir na sonraí agus an meán, ansin cearnóg:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Torthaí Cearnógacha Uile a Chur le chéile:
\[
Sum(x_i – x)^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. An tAthraitheas Sampla (s²) a Ríomh:
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Nóta: Ós rud é gur sonraí samplacha iad seo, roinnimid iad ar 5 (n-1).
5. Ag Ríomh an Diall Chaighdeánaigh (na Diallta Caighdeánacha):
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]
Mar sin, is é 5.351 athraitheas na sonraí samplach agus is é 2.313 an diall caighdeánach.
Conclúid
Tá sé ríthábhachtach an t-athraitheas agus an diall caighdeánach a ríomh chun tuiscint a fháil ar an gcaoi a bhfuil sonraí scaipthe laistigh de shraith ar leith. Cé go soláthraíonn an t-athraitheas tomhas teoiriciúil ar scaipeadh i gcearnóga na n-aonad bunaidh, déanann an diall caighdeánach léirmhíniú ar an tomhas scaipthe i dtéarmaí na n-aonad bunaidh de na sonraí, rud a fhágann go bhfuil sé níos éasca a thuiscint. In anailís sonraí, is minic a úsáidtear an dá thomhas seo chun athraitheacht sonraí a mheas agus cinntí staitistiúla a dhéanamh.
Trí thuiscint a fháil ar na céimeanna agus na foirmlí riachtanacha, is féidir linn an t-athraitheas agus an diall caighdeánach a ríomh go héasca do chásanna éagsúla a mbímid ag teacht orthu i mbailiú agus in anailís sonraí laethúil. Tá súil agam go dtugann an t-alt seo tuiscint níos doimhne ar choincheapa na hathraitheasa agus an diall caighdeánaigh i dtacair sonraí aonair.
