Ceisteanna Samplacha a Phléann Córais Cothromóidí Líneacha agus Éagothromóidí
Is ábhar tábhachtach sa mhatamaitic iad córais cothromóidí líneacha agus neamhionannais a bhfuil feidhm fhorleathan acu i réimsí éagsúla, amhail an eacnamaíocht, an eolaíocht agus an innealtóireacht. San alt seo, pléifimid fadhbanna samplacha a bhaineann le córais cothromóidí líneacha agus neamhionannais agus conas iad a réiteach go mion.
Sainmhíniú ar Chóras Cothromóidí Líneacha
Is éard atá i gcóras cothromóidí líneacha dhá chothromóid líneacha nó níos mó atá gaolmhar lena chéile. Seo samplaí:
\[
\tús{cásanna}
2x + 3y = 5 \\
4x – y = 1
\deireadh{cásanna}
\]
Is é cuspóir an chórais seo a réiteach ná luachanna \(x\) agus \(y\) a aimsiú a chomhlíonann an dá chothromóid ag an am céanna.
Modhanna chun Córais Cothromóidí Líneacha a Réiteach
Tá roinnt modhanna ann chun córais cothromóidí líneacha a réiteach, lena n-áirítear:
1. Modh Ionadaithe
2. Modh Deiridh
3. Modh Maitrís (Inbhéartach nó Gauss-Jordan)
Ceist Shamplach 1: Modh Ionadaithe
Lig dúinn an córas seo a leanas a réiteach ag baint úsáide as an modh ionadaithe:
\[
\tús{cásanna}
x + 2y = 10 \\
3x – y = 5
\deireadh{cásanna}
\]
Céimeanna:
1. Leithlis ceann de na hathróga i gceann de na cothromóidí.
Ón gcéad chothromóid, déanaimid \(x\) a leithlisiú:
\[
x = 10 – 2y
\]
2. Cuir an abairt a fuarthas isteach sa chothromóid eile.
Cuir \(x = 10 – 2y\) isteach sa dara cothromóid:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
Réitigh le haghaidh \(y\):
\[
30 – 6y – y = 5
\]
\[
30 – 7y = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. Bain úsáid as na luachanna a fuarthas chun athróga eile a aimsiú.
Cuir \(y = \frac{25}{7}\) ar ais isteach sa slonn le haghaidh \(x\):
\[
x = 10 – 2\left(\frac{25}{7}\right)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{70}{7} – \frac{50}{7}
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
Mar sin, is iad na réitigh don chóras ná (x = 20/7) agus (y = 25/7).
Ceist Shamplach 2: Modh Deiridh
Ar aghaidh, úsáidfimid an modh díothaithe chun an córas seo a leanas a réiteach:
\[
\tús{cásanna}
2x + 3y = 12 \\
4x + 6y = 24
\deireadh{cásanna}
\]
Sa chás seo, feicimid gur iolraí den chéad chothromóid an dara cothromóid. Chun an córas a laghdú, is féidir linn an chéad chothromóid a iolrú faoi 2 agus ansin í a bhaint ón dara cothromóid:
1. Iolraigh an chéad chothromóid faoi 2:
\[
2(2x + 3y) = 2 ≥ 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. Bain an chéad chothromóid iolraithe ón dara cothromóid:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
Tugann sé seo \(0 = 0\), rud a léiríonn go bhfuil réitigh gan teorainn ag an gcóras agus go bhfuil na cothromóidí seo spleách.
Ceist Shamplach 3: Neamhionannais Líneacha
Leanann neamhionannais líneacha prionsabail atá cosúil le cothromóidí líneacha, ach bíonn comharthaí neamhionannais iontu amhail \(<, ≤, >, ≤\). Féachfaimid ar shampla simplí:
\[
\tús{cásanna}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] Céimeanna: 1. Úsáidimid an modh grafach chun réigiún réitigh an chórais seo a chinneadh. Grafaigh gach neamhionannas. 2. Tiontaigh an neamhionannas go cothromóid chun an líne teorann a chinneadh: I gcás \(3x - y < 7\), is é \(3x - y = 7\) an líne teorann
