Ceisteanna Samplacha agus Plé ar Chineál amháin Cóimheasa Triantánachta: tan θ
Is brainse den mhatamaitic í an triantánacht a dhéanann staidéar ar an ngaol idir uillinneacha agus faid taobhanna i dtriantáin. Cóimheas triantánach a phléitear go minic is ea an tadhlaí (tan). San alt seo, díreoimid ar an gcóimheas tan a úsáid i gcineálacha éagsúla fadhbanna agus pléifimid roinnt samplaí a bhaineann le tan θ.
Sainmhíniú ar tan θ
Sainmhínítear tadhlaí uillinne θ mar an cóimheas idir fad an taoibh os coinne agus fad an taoibh in aice láimhe i dtriantán ceart. Go matamaiticiúil, scríobhtar é seo mar:
[tan θ = \frac{\text{taobh os coinne}}{\text{taobh cóngarach}}]
Sa chiorcal aonaid, is féidir tan a léirmhíniú freisin mar an gcóimheas idir comhordanáid y (an taobh tosaigh) agus comhordanáid x (an taobh taoibh) pointe ar an gciorcal atá aonad amháin ar shiúl ón lár.
An fheidhm tan sa Mhatamaitic agus san Fhisic
Úsáidtear triantánacht, go háirithe an fheidhm tan, i réimse feidhmeanna matamaiticiúla agus fisiciúla. Mar shampla, sa fhisic chlasaiceach, úsáidtear an fheidhm tan in anailís ar ghluaiseacht teilgeán, agus san innealtóireacht, úsáidtear í chun uillinn chlaonta nó fána dromchla a ríomh.
Ceisteanna Samplacha agus Plé
Seo roinnt ceisteanna samplacha agus a bplé chun tuiscint níos doimhne a fháil ar úsáid tan θ.
Ceist 1: Tan θ triantáin dronuilleogaigh a ríomh
Tugtha: Tá fad 4 cm ar thaobh tosaigh triantáin dronuilleogach os coinne uillinn θ agus fad 3 cm ar an taobh atá cóngarach d'uillinn θ. Ríomh luach tan θ.
Plé:
Úsáid an sainmhíniú ar tan:
\[ \tan θ = \frac{\text{taobh tosaigh}}{\text{taobh}} \]
Cuir na luachanna aitheanta ina n-ionad:
[tan θ = \frac{4}{3}]
Mar sin, is é luach tan θ ná ∫(4/3).
Ceist 2: Fad taobh a chinneadh ag baint úsáide as tan θ
Tugtha: Tá a fhios go bhfuil triantán dronuilleogach le huillinn θ = 0.75. Is é 8 cm fad an taoibh atá cóngarach d'uillinn θ. Ríomh fad an taoibh urchomhaireach atá os comhair uillinn θ.
Plé:
Úsáid sainmhíniú tan chun fad an taobh eile a fháil:
\[ \tan θ = \frac{\text{taobh tosaigh}}{\text{taobh}} \]
\[ 0.75 = \frac{\text{taobh tosaigh}}{8} \]
Iolraigh an dá thaobh faoi 8 chun an chothromóid a réiteach.
\[ \text{taobh tosaigh} = 0.75 \times 8 \]
\[ \text{taobh tosaigh} = 6 cm \]
Mar sin, is é 6 cm fad an taobh tosaigh.
Ceist 3: Uillinn θ a ríomh má tá tan θ ar eolas
Tugtha: Tá triantán ceart ar eolas a bhfuil tan θ = 1 aige. Ainmnigh an uillinn θ.
Plé:
Is ionann tan uillinne agus 1 nuair a bhíonn an taobh os coinne agus an taobh cóngarach comhfhad. I dtrigoniméadracht bhunúsach, tarlaíonn sé seo ag uillinn 45°.
Dá bhrí sin, is é 45° luach θ.
Ceist 4: Tan θ a úsáid i bhfadhbanna ailgéabar
Tugtha: Tá rópa ceangailte ó bharr cuaille atá 15 méadar ar airde go pointe ar an talamh atá 20 méadar ó bhun na cuaille. Ríomh tan θ, áit a seasann θ don uillinn a chruthaíonn an rópa agus an cuaille.
Plé:
Úsáid an sainmhíniú ar tan:
\[ \tan θ = \frac{\text{taobh tosaigh (airde cuaille)}}{\text{taobh taobh (fad cothrománach)}} \]
[tan θ = \frac{15}{20}]
Simpligh an codán:
[tan θ = \frac{3}{4}]
Mar sin, is é luach tan θ ná ∫(3/4).
Ceist 5: Airde a chinneadh ó achar agus uillinn chlaonta
Tugtha: Seasann breathnóir 100 méadar ó fhoirgneamh ard. Is é tan 30 an tan θ den bhreathnóireacht ó shuíomh an bhreathnóra go barr an fhoirgnimh. Faigh airde an fhoirgnimh.
Plé:
Is eol go bhfuil \(tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
\[ \tan θ = \frac{\text{taobh tosaigh (airde foirgnimh)}}{\text{taobh (fad)} } \]
Cuir na luachanna aitheanta isteach sa chothromóid
\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\text{airde foirgnimh}}{100} \]
Iolraigh an dá thaobh faoi 100 chun an airde a leithlisiú.
\[ \text{airde foirgnimh} = \frac{100}{\sqrt{3}} \]
\[ \text{airde foirgnimh} = \frac{100 \times \sqrt{3}}{3} \]
\[ \text{airde foirgnimh} ≈ 57.73 \text{ méadar} \]
Mar sin, tá airde an fhoirgnimh thart ar 57.73 méadar.
Ceist 6: An uillinn a chinneadh ó airde agus achar
Tugtha: Tá a fhios agat gurb é 50 méadar airde túir agus gurb é 70 méadar an fad cothrománach ón bpointe breathnóireachta go bun an túir. Faigh amach uillinn airde an túir go barr an túir.
Plé:
\[ \tan θ = \frac{\text{airde túir}}{\text{fad cothrománach}} \]
[tan θ = \frac{50}{70}]
[tan θ = \frac{5}{7}]
Chun θ a aimsiú, úsáidimid an fheidhm tadhlaí inbhéartach (tan⁻¹) nó arctan.
\[ θ = \tan⁻¹ (\frac{5}{7}) \]
Le háireamhán nó tábla triantánachta, is féidir linn luach θ a fháil.
\[ θ ≈ 35.54° \]
Mar sin, is é uillinn airde an túir ná thart ar 35.54°.
Conclúid
Is uirlis chumhachtach í an triantánacht i go leor réimsí eolaíochta. Is cóimheas simplí ach cumhachtach é an tadhlaí, mar shampla, ar féidir é a úsáid chun fadhbanna éagsúla a bhaineann le huillinneacha agus faid taobh a réiteach. Trí thuiscint a fháil ar a shainmhíniú agus conas é a úsáid, is féidir linn raon leathan fadhbanna geoiméadrachta agus fisice a réiteach. Trí chleachtadh a dhéanamh ar fhadhbanna cosúil leis an sampla thuas, is féidir linn a bheith níos oilte ag úsáid tan θ i ríomhanna laethúla.
