Samplacha Fadhbanna a Phléann Rothlú Matamaiticiúil
Pendahuuan
Is claochlú geoiméadrach é rothlú a bhíonn le fáil go minic sa mhatamaitic, go háirithe sa gheoiméadracht. Baineann rothlú le rothlú réad timpeall pointe ar leith (lár an rothlaithe) trí uillinn ar leith i dtreo deiseal nó tuathal. Tá cur i bhfeidhm choincheap an rothlaithe ríthábhachtach i réimsí ar nós grafaicí ríomhaireachta, fisic agus innealtóireacht. Scrúdóidh an t-alt seo samplaí agus plé éagsúla ar rothlú sa mhatamaitic.
Tuiscint a fháil ar Rothlú
Is claochlú é rothlú a bhogann gach pointe de réada trína rothlú timpeall pointe seasta, ar a dtugtar lár an rothlaithe, faoi uillinn áirithe i dtreo áirithe. Is féidir an nótaíocht ghinearálta le haghaidh rothlaithe le huillinn θ agus lár rothlaithe (a, b) a scríobh mar R_(a, b)(θ).
I gcás pointe P(x, y) atá rothlaithe faoi θ céim agus lár an rothlaithe ag an mbunphointe (0, 0), gheofar comhordanáidí nua P' (x', y') tar éis an rothlaithe ag baint úsáide as an bhfoirmle:
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Leanfaimid ar aghaidh le roinnt samplaí de fhadhbanna rothlaithe agus na pléití a bhaineann leo.
Ceisteanna Samplacha agus Plé
Ceist Shamplach 1
Ceist: Faigh amach comhordanáidí nua phointe A(3, 4) tar éis é a rothlú 90 céim tuathalach leis an lár rothlaithe ag an mbunphointe (0, 0).
Plé: Ag baint úsáide as an bhfoirmle rothlaithe le huillinn 90 céim tuathalach:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Mar sin, is iad comhordanáidí nua A' tar éis rothlaithe ná (-4, 3).
Ceist Shamplach 2
Ceist: Rothlaítear pointe B(2, -1) 180 céim deiseal agus lár an rothlaithe ag an mbunphointe (0, 0). Faigh amach comhordanáidí nua phointe B tar éis an rothlaithe.
Plé: Tugann rothlú 180 céim deiseal nó tuathal an toradh céanna, eadhon athraíonn comhordanáidí an phointe go (-x, -y).
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Mar sin, is iad comhordanáidí nua B' ná (-2, 1).
Ceist Shamplach 3
Ceist: Rothlaítear pointe C(-3, 5) 270 céim tuathalach agus lár an rothlaithe ag an mbunphointe (0, 0). Faigh pointe C tar éis an rothlaithe.
Plé: Is ionann rothlú 270 céim tuathalach agus rothlú 90 céim deiseal.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Mar sin, is iad comhordanáidí nua C' tar éis rothlaithe ná (5, -3).
Ceist Shamplach 4
Ceist: Faigh amach comhordanáidí nua phointe D(5, 5) tar éis é a rothlú 45 céim leis an lár rothlaithe ag an mbunphointe (0, 0).
Plé: Ag baint úsáide as an bhfoirmle rothlaithe le huillinn 45 céim:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(peac(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Mar sin, is iad comhordanáidí nua D' tar éis rothlaithe ná (0, 5√2).
Rothlú gan Lár an Rothlaithe ag an mBunús
Ní dhéantar rothlaithe timpeall an bhunphointe i gcónaí. Mar shampla, abair gur mian linn pointe a rothlú a bhfuil lár an rothlaithe (h, k) aige. Chun seo a dhéanamh, ní mór dúinn na comhordanáidí a choigeartú mar seo a leanas:
1. Aistrigh an pointe ionas go mbeidh (h, k) mar bhunphointe.
2. Bain úsáid as an bhfoirmle rothlaithe.
3. Aistrigh ar ais go dtí an suíomh bunaidh.
Ceist Shamplach 5
Ceist: Rothlaítear pointe E(5, 7) 90 céim tuathalach agus lár an rothlaithe ag pointe (2, 3). Faigh amach comhordanáidí nua phointe E tar éis an rothlaithe.
Plé:
1. Aistrigh pointe E go dtí an bunphointe i gcoibhneas le lár an rothlaithe (2, 3):
– Pointe nua E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Rothlaigh 90 céim tuathalach timpeall an phointe nua:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Mar sin, is iad na comhordanáidí tar éis rothlaithe ná (-4, 3).
3. Aistriú ar ais go dtí an suíomh bunaidh i gcoibhneas le lár an rothlaithe (2, 3):
– Críochphointe E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Mar sin, is iad comhordanáidí nua phointe E tar éis rothlaithe ná (-2, 6).
Conclúid
Tá sé ríthábhachtach rothluithe matamaiticiúla a anailísiú agus a thuiscint i bhfeidhmeanna éagsúla. Trí na samplaí agus na plé thuas, táthar ag súil go dtuigfidh léitheoirí conas a oibríonn foirmlí rothlaithe agus conas is féidir iad a chur i bhfeidhm i gcásanna éagsúla. Ní hamháin go neartaíonn an cleachtadh seo matamaitic bhunúsach ach tá sé úsáideach freisin i réimsí eile a bhaineann le claochluithe geoiméadracha.
