Sampla de Cheist Phlé ar Chothromóid Chiorcail
Is ábhar tábhachtach i ngeoiméadracht anailíseach í cothromóid chiorcail. Tá tuiscint mhaith ar chothromóid chiorcail thar a bheith úsáideach, ní hamháin sa mhatamaitic ach i bhfeidhmeanna innealtóireachta agus eolaíochta éagsúla freisin. San alt seo, pléifimid roinnt samplaí de chothromóidí ciorcail agus a réitigh. Is é an sprioc forbhreathnú soiléir agus cuimsitheach a thabhairt ar conas fadhbanna a bhaineann le cothromóidí ciorcail a réiteach.
Cothromóid Ghinearálta Ciorcail
Is í an chothromóid is coitianta do chiorcal i gcomhordanáidí Cairtéiseacha ná:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
An mana:
Is iad comhordanáidí lár an chiorcail (a, b).
– Is é \(r \) ga an chiorcail.
Más ag an bpointe \( (0, 0) \ atá lár an chiorcail, beidh cothromóid an chiorcail mar seo a leanas:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Anois, pléifimid roinnt ceisteanna samplacha agus a réitigh.
Ceist Shamplach 1
Ceist: Faigh cothromóid ciorcail a bhfuil a lárphointe ag pointe (3, -2) agus a bhfuil ga 5 aige.
Réiteach:
Úsáid an fhoirmle ghinearálta do chothromóid ciorcail:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Cuir na luachanna seo a leanas ina n-ionad: (a = 3), (b = -2), agus (r = 5):
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Mar sin, is é cothromóid an chiorcail ná:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Ceist Shamplach 2
Ceist: Faigh cothromóid ciorcail a bhfuil a lárphointe ag an mbunphointe (0, 0) agus a bhfuil ga 7 aige.
Réiteach:
Ós rud é go bhfuil lár an chiorcail ag an mbunphointe, is féidir linn an chothromóid shimplí a úsáid:
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Cuir an luach r = 7 ina ionad:
\[ x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Mar sin, is é cothromóid an chiorcail ná:
\[ x^2 + y^2 = 49 \]
Ceist Shamplach 3
Ceist: Faigh cothromóid ciorcail a bhfuil a lárphointe ag pointe (4, -5) agus a bhaineann leis an ais-Y.
Réiteach:
Ciallaíonn ciorcal atá tadhlaíoch leis an ais-Y go bhfuil an fad ó lár an chiorcail go dtí an ais-Y cothrom lena gha. Is é an fad seo luach absalóideach chomhordanáid X lár an chiorcail. Mar sin, is é 4 an ga.
Úsáid an fhoirmle ghinearálta do chothromóid ciorcail:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Cuir na luachanna seo a leanas ina n-ionad: (a = 4), (b = -5), agus (r = 4):
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Mar sin, is é cothromóid an chiorcail ná:
\[ (x – 4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Ceist Shamplach 4
Ceist: Tá cothromóid ciorcail mar seo a leanas: \( x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \). Faigh lár agus ga an chiorcail.
Réiteach:
Chun an chothromóid seo a réiteach, ní mór dúinn í a thiontú go foirm chaighdeánach \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Seo a leanas na céimeanna chun í a chomhlánú:
1. Grúpáil agus réiteach cearnóg foirfe:
Is é an chothromóid tosaigh:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
Grúpa (x) agus (y):
\[ (x^2 – 6x) + (y^ 2 + 4y) = 12 \]
2. Réitigh an chearnóg fhoirfe:
I gcás \(x^2 – 6x \):
\[ x^2 – 6x + 9 \]
I gcás (y² + 4y):
\[ y^2 + 4y + 4 \]
Cuir 9 agus 4 le gach taobh den chothromóid:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^ 2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Mar sin, is é cothromóid ciorcail san fhoirm chaighdeánach ná:
\[ (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
As seo, is féidir linn a fheiceáil gurb é \(3, -2) \) lár an chiorcail agus gurb é \(r = \sqrt{25} = 5 \) an ga.
Ceist Shamplach 5
Ceist: Faigh cothromóid an chiorcail a théann trí na pointí (2, 3) agus (4, 5), agus a bhfuil a lár ar an líne x = 3.
Réiteach:
Ón gceist, tá a fhios againn gurb é (3, b) lár an chiorcail. Téann an ciorcal trí dhá phointe aitheanta freisin. Ós rud é go dtéann an ciorcal trí (2, 3), is é an fad ón lár go dtí an pointe seo an ga.
Is é cothromóid ciorcail ná:
[(x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Pointe ionadaithe (2, 3):
\[ (2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[(3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Pointe ionadaithe (4, 5):
\[ (4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[ 1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[(5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Ó na cothromóidí, tá a fhios againn (3 – b)^2 = (5 – b)^2. Mar sin:
[3 – b = pm(5 – b)]
Mura bhfuil \(3 – b = 5 – b \), ní féidir leis an toradh a bheith fíor. Mar sin:
\[ 3 – b = -(5 – b) \]
\[b = 4 \]
Le b = 4, is é cothromóid an chiorcail ná:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Mar sin féin, is féidir linn an ga r a ríomh ón achar idir an lár agus an pointe (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Is é cothromóid an chiorcail ná:
\[ (x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 2 \]
Conclúid
Is féidir le tuiscint ar chothromóid chiorcail réiteach a dhéanamh ar go leor fadhbanna matamaitice. I ngach cás, tá sé ríthábhachtach an lár agus an ga a aithint. Tá súil againn go dtugann na fadhbanna samplacha seo agus a mínithe soiléiriú agus go gcabhróidh siad leat cothromóid chiorcail a fhoghlaim. Déanann cleachtadh foirfe sa mhatamaitic, mar sin ná bíodh leisce ort fadhbanna éagsúla a thriail chun do scileanna a fheabhsú.
