Sampla de Cheisteanna Plé maidir le hIonchorprú
Is éard is permutation ann ná athchóiriú tacair nó réad in ord ar leith. Sa mhatamaitic, úsáidtear an coincheap seo go coitianta chun a ríomh cé mhéad bealach is féidir grúpa réad a shocrú. Anseo thíos, pléifimid roinnt samplaí de fhadhbanna permutation agus a mínithe cuimsitheacha.
Sainmhíniú ar Mhí-athrú
Is éard is athrú tacair ann ná athchóiriú a eilimintí in ord áirithe. Má tá \(n \) réada ann, tugtar \(P(n) \) ar an athrú nó go sonrach, \(P(n, r) \) do \(r \) athrúcháin de \(n \) réada. Is é seo an fhoirmle bhunúsach le haghaidh athrú:
\[P(n) = n! \]
áit a bhfuil \(n! \) (n fachtóiriúil) ina thoradh ar na slánuimhreacha dearfacha uile atá níos lú ná nó cothrom le \(n \).
Idir an dá linn, is é seo foirmle an phróisis r do réada n:
[P(n, r) = \frac{n!}{(nr)!} \]
Ceisteanna Samplacha agus Plé
Ceist Shamplach 1
Fadhb:
Cé mhéad bealach is féidir 4 leabhar éagsúla a shocrú ar sheilf?
Plé:
Chun 4 leabhar éagsúla a shocrú, is féidir linn an fhoirmle permutation a úsáid chun gach socrú féideartha de na leabhair a ríomh:
[P(4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24]
Mar sin, tá 24 bealach ann chun 4 leabhar éagsúla a shocrú ar sheilf.
Ceist Shamplach 2
Fadhb:
Cé mhéad bealach is féidir ann chun 3 bhall d'fhoireann 5 bhall a roghnú agus a shocrú in ord ar leith?
Plé:
Úsáidimid an fhoirmle permutation \( P(n, r) \) áit a bhfuil \( n = 5 \) agus \( r = 3 \):
[P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 × 4 × 3 × 2!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60 \]
Mar sin, tá 60 bealach ann chun 3 bhall d'fhoireann 5 bhall a roghnú agus a shocrú in ord áirithe.
Ceist Shamplach 3
Fadhb:
Cé mhéad bealach is féidir an focal “MATH” a shocrú sa chaoi nach n-athdhéantar aon litir?
Plé:
Tá ceithre litir éagsúla sa fhocal "MATH". Is féidir linn an fhoirmle permutation a úsáid chun gach socrú féideartha de na litreacha seo a ríomh:
[P(4) = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24]
Mar sin, tá 24 bealach ann chun na litreacha sa fhocal “MATH” a shocrú.
Ceist Shamplach 4
Fadhb:
Ó na huimhreacha 1, 2, 3, 4, 5, cé mhéad uimhir 3 dhigit is féidir a fhoirmiú mura ndéantar aon dhigit a athdhéanamh?
Plé:
Chun uimhir 3 dhigit a fhoirmiú ó 5 dhigit éagsúla nach ndéantar aon dhigit a athdhéanamh, úsáidimid an t-athrúchán \( P(5, 3) \):
[P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 × 4 × 3 × 2!}{2!} = 5 × 4 × 3 = 60 \]
Mar sin, tá 60 bealach ann chun uimhir 3 dhigit a fhoirmiú ó na digití 1, 2, 3, 4, agus 5 gan aon dhigit a athrá.
Ceist Shamplach 5
Fadhb:
Tá 6 imreoir ann, A, B, C, D, E, agus F. Socrófar iad san ord is fearr de 3 imreoir don chluiche. Cé mhéad bealach is féidir na trí imreoir a shocrú?
Plé:
Anseo iarrtar orainn 3 imreoir a shocrú in ord ar leith as 6 imreoir san iomlán. Is é an fhoirmle a úsáidtear ná an permutation \(P(n, r) \) áit a bhfuil \(n = 6 \) agus \(r = 3 \):
[P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 × 5 × 4 × 3!}{3!} = 6 × 5 × 4 = 120 \]
Mar sin, tá 120 bealach ann chun 3 de na 6 imreoir a shocrú in ord ar leith.
Ceist Shamplach 6
Fadhb:
Faigh amach cé mhéad athrú atá ar an bhfocal “OLLSCOIL” ionas go mbeidh na gutaí i gcónaí in aice lena chéile.
Plé:
Tá 11 litir sa fhocal “OLLSCOIL”, agus is iad na gutaí U, I, E, I, A. Smaoinigh ar an ngrúpa gutaí seo mar aonad amháin.
Mar sin, tá againn: (UIIEIA), N, V, R, S, T, agus S (meastar gur aonad amháin iad). Ansin caithfimid na 7 n-aonad seo a shocrú:
\[P(7) = 7! = 5040 \]
Mar sin féin, sa ghrúpa gutha (UIIEIA), is féidir iad a shocrú i:
\[P(5) = 5! = 120 \]
Mar sin, is iad na hiomlóidí iomlána ná:
\[ 7! \uaire 5! = 5040 \uaire 120 = 604800 \]
Mar sin, tá 604800 bealach ann chun an focal “OLLSCOIL” a fhoirmiú ina mbíonn na gutaí go léir i gcónaí in aice lena chéile.
Conclúid
Is éard is permutation ann ná socrú rudaí nó tacair in ord ar leith, agus tá go leor feidhmeanna ag an gcoincheap seo i réimsí éagsúla, lena n-áirítear matamaitic, eolaíocht ríomhaireachta, agus staitisticí. Trí an fhoirmle chuí a aithint agus a chur i bhfeidhm, is féidir linn líon na socruithe féideartha a ríomh go héasca.
Léiríonn na samplaí a chuirtear ar fáil conas a oibríonn foirmlí permutation agus conas is féidir iad a chur i bhfeidhm i réimse cásanna. Tá tuiscint iomlán ar permutations riachtanach chun fadhbanna casta teaglamacha a réiteach agus tá sé thar a bheith luachmhar agus loighic réitigh fadhbanna á forbairt.
