Ceisteanna Samplacha agus Plé ar Fheidhmchláir Chomhtháite
Is coincheap bunúsach sa chalcalas é an comhtháthú a bhfuil go leor feidhmeanna aige i réimsí éagsúla eolaíochta, amhail fisic, eacnamaíocht, bitheolaíocht agus innealtóireacht. Úsáidtear slánúcháin chun an limistéar faoi chuar, toirt solad, obair, brú agus níos mó a ríomh. San alt seo, pléifimid roinnt samplaí d'fheidhmchláir shlánúcháin, agus ina dhiaidh sin mínithe mionsonraithe ar conas iad a réiteach.
1. An Limistéar Faoin gCuar a Chinneadh
Ceann de na feidhmeanna is coitianta a bhaineann le slánuimhir ná achar faoi chuar feidhme a ríomh thar eatramh ar leith. Abair gur mian linn achar na réigiúin atá teoranta ag an gcuar _(y = x^2_) agus ais _(x_) ó _(x = 0_) go _(x = 2_) a aimsiú.
Sampla fadhbanna:
Aimsigh an t-achar faoin gcuar \(y = x^2\) ó \(x = 0\) go \(x = 2\).
Plé:
Chun an t-achar faoin gcuar \(y = x^2\) ó \(x = 0\) go \(x = 2\) a fháil, ní mór dúinn slánuimhir chinnte na feidhme a ríomh:
[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
Céim 1: Faigh amach slánuimhir \(x^2\).
Tabhair faoi deara gurb é seo slánuimhir \(x^2\):
[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
Céim 2: Cuir an teorainn iomlánach \(0\) i bhfeidhm ar \(2\).
[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]
Céim 3: Ríomh an luach teorann.
[ \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
Mar sin, is é an t-achar faoin gcuar _(y = x^2)_ ó _(x = 0) go _(x = 2)_ aonaid achair.
2. Toirt na nRéad Rothlach a Ríomh
Úsáidtear slánchomharthaí freisin chun toirt solad imrothlaithe a ríomh. Má rothlaítear réigiún timpeall an ais \(x\), is féidir toirt an réada a fháil trí úsáid a bhaint as an modh diosca nó an modh fáinne.
Sampla fadhbanna:
Ríomh toirt an réada a tháirgtear nuair a rothlaítear an réigiún atá teoranta ag an gcuar \(y = \sqrt{x}\) agus an líne \(x = 4\) timpeall ais \(x\).
Plé:
Chun toirt solad imrothlaithe a fháil, is féidir linn an modh diosca a úsáid. Is féidir toirt \(V\) an tsolaid mar thoradh air sin a chur in iúl mar:
[V = π_{a}^{b} [f(x)]^2 , dx]
I gcás ina bhfuil \(f(x) = \sqrt{x}\), \(a = 0\), agus \(b = 4\).
Céim 1: Déan an t-intuimeall toirte.
[V = π_{0}^{4} (x)^2, dx]
Céim 2: Simpligh an fheidhm san iomlán.
[V = π_{0}^{4}x, dx]
Céim 3: Faigh amach slánuimhir \(x\).
[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]
Céim 4: Cuir na teorainneacha \(0\) go \(4\) i bhfeidhm.
[V = π [x²/2]_0^4]
Céim 5: Ríomh an luach teorann.
[ \left. \frac{x^2}{2} \deas|_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \deas) = \pi \left( \frac{16}{2} \deas) = 8\pi \]
Mar sin, is é toirt an réada mar thoradh air sin 8 aonad toirte.
3. An Obair a Dhéanann Fórsa Athraitheach a Ríomh
Faightear feidhmeanna comhtháite sa fhisic freisin, agus ceann acu is ea an obair a dhéanann fórsa athraitheach a ríomh nuair a bhogann réad ó phointe amháin go pointe eile.
Sampla fadhbanna:
Gníomhaíonn fórsa \(F(x) = 3x^2\) Newton ar cháithnín atá ag bogadh ó \(x = 1\) méadar go \(x = 3\) méadar. Ríomh an obair a dhéanann an fórsa.
Plé:
Is féidir an obair \(W\) a dhéanann an fórsa \(F(x)\) a fháil trí shlánmhéid \(F(x)\) a ríomh thar an díláithriú ó \(a\) go \(b\):
[W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
I gcás ina bhfuil (a = 1), (b = 3), agus (F(x) = 3x^2).
Céim 1: Déan slánuimhir na hoibre a fhoirmiú.
[W = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]
Céim 2: Faigh amach slánuimhir \(3x^2\).
[\int 3x^2\, dx = 3\left(\frac{x^3}{3}\right) = x^3 + C\]
Céim 3: Cuir na teorainneacha \(1\) go \(3\) i bhfeidhm.
[W = [x²]_1^3]
Céim 4: Ríomh an luach teorann.
[W = \left.x^3 \right|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
Mar sin, is é 26 giúl an obair a dhéanann an fórsa.
4. Brú Hidreastatach a Chinneadh
Sa fhisic, úsáidtear slánuimhir freisin chun an brú hidreastatach ar dhromchla atá tumtha i leacht a ríomh.
Sampla fadhbanna:
Tá pláta ingearach 6 mhéadar ar airde agus 4 mhéadar ar leithead tumtha in uisce agus a bharr os cionn dhromchla an uisce. Ríomh fórsa iomlán an bhrú uisce ar an pláta.
Plé:
Tugtar an brú ag doimhneacht \(h\) in uisce mar \(P = \rho gh\), áit a seasann \(\rho\) do dhlús an uisce (thart ar \(1000 \text{ kg/m}^3\)) agus seasann \(g\) don luasghéarú de bharr domhantarraingthe (thart ar \(9.8 \text{ m/s}^2\)).
Chun an fórsa brú iomlán a fháil, ní mór dúinn an brú a chomhtháthú thar achar ingearach an phláta.
Céim 1: Cinntigh an fheidhm brú.
[P(y) = ∫rho gy]
Céim 2: Is é an fórsa iomlán \(F\) slánuimhir an bhrú iolraithe faoin achar bunúsach \(dA\) ó \(y = 0\) go \(y = 6\).
\[ F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]
Céim 3: Simpligh na tairiseacha.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]
Céim 4: Faigh amach slánuimhir \(y\).
\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]
Céim 5: Cuir na teorainneacha \(0\) go \(6\) i bhfeidhm.
[F = 4 1000 9.8 [y²/2]_06]
Céim 6: Ríomh an luach teorann.
[F = 4 ⋅ 1000 ⋅ 9.8 ⋅ {6^2}{2} = 4 ⋅ 1000 ⋅ 9.8 ⋅ 18 = 705600]
Mar sin, is é 705600 Newton fórsa iomlán brú an uisce ar an pláta.
Conclúid
Soláthraíonn úsáid slánuimhir i bhfeidhmeanna éagsúla cumhacht anailíseach ollmhór chun cainníochtaí fisiceacha casta a ríomh. San alt seo, phléamar conas a chuirtear slánuimhir i bhfeidhm chun an limistéar faoi chuar, toirt solad imrothlach, an obair a dhéanann fórsa athraitheach, agus brú hidreastatach a ríomh. Le tuiscint mhaith ar theicnící comhtháthaithe, is féidir linn réimse fadhbanna praiticiúla a réiteach a thagann chun cinn san eolaíocht agus san innealtóireacht.
