Ceisteanna Samplacha agus Plé ar Mheath Easpónantúil
Is feiniméan nádúrtha é meath easpónantúil a fhaightear i ndisciplíní éagsúla ar nós na fisice, na ceimice, na bitheolaíochta agus na heacnamaíochta. Mar mhúnla matamaiticiúil, déanann meath easpónantúil cur síos ar an bpróiseas trína laghdaíonn cainníocht ar leith i gcomhréir lena cainníocht reatha. Sa mhatamaitic, leanann meath easpónantúil an fhoirm ghinearálta:
[N(t) = N_0 e^{-Δt}]
Cá háit:
– Is é \(N(t) \) an méid atá fágtha ag an am \(t \),
– Is í \(N_0 \) an uimhir tosaigh,
– Is é \( \lambda \) an tairiseach meathlaithe (ar a dtugtar an ráta meathlaithe go minic),
– Is é \(t \) an t-am,
– Is é \(e \) bonn an logartaim nádúrtha (thart ar 2.718).
San alt seo, pléifimid roinnt samplaí de fhadhbanna meathlaithe easpónantúla mar aon lena mínithe chun cabhrú le tuiscint níos doimhne a fháil ar an gcoincheap seo.
Ceist Shamplach 1: Meath Radaighníomhach
Ceist:
Tá leathré 5 bliana ag substaint radaighníomhach. Dá mbeadh 100 gram den tsubstaint ann ar dtús, cé mhéad a bheadh fágtha tar éis 15 bliana?
Plé:
Is féidir meath radaighníomhach a shamhaltú ag baint úsáide as an bhfoirmle meath easpónantúil. Is é an leathré (\(t_{1/2} \)) an t-am a theastaíonn le leath den mhéid ábhair radaighníomhaigh a mheath. Is eol go bhfuil \(t_{1/2} = 5 \) bliana.
Ar dtús ní mór dúinn an tairiseach meathlaithe _( \lambda \) a aimsiú leis an bhfoirmle:
[ \lambda = \frac{\ln2}{t_{1/2}} \]
[ \lambda = \frac{\ln2}{5} \approx 0.1386 \text{ bliain}^{-1} \]
Dá bhrí sin, is é seo foirmle an mheathlaithe easpónantúil:
[N(t) = N_0 e^{-Δt}]
[N(t) = 100 e^{-0.1386 \times 15} \]
Anois, ríomhaimid an luach:
\[ N(t) = 100 e^{-2.079} \]
[N(t) = 100 × 0.125]
\[ N(t) \thart ar 12.5 \text{ gram} \]
Mar sin, tar éis 15 bliana, tá thart ar 12.5 gram d'ábhar radaighníomhach fágtha.
Sampla 2: Meath Toilleora
Ceist:
Ceadaítear do thoilleoir a bhfuil muirear tosaigh Q(0 = 200 C) air díluchtú i gciorcad. Is é an tairiseach ama ná ta(4 s). Cé mhéad muirir atá fágtha tar éis 10 soicind?
Plé:
I gcás meath luchta toilleora, is é seo an tsamhail easpónantúil a úsáidtear:
[Q(t) = Q_0 e^{-t/τ}]
Agus (Q_0 = 200 C) agus (tau = 4 s) tugtha. Ní mór dúinn (Q(10)) a aimsiú:
\[ Q(10) = 200 e^{-10/4} \]
\[ Q(10) = 200 e^{-2.5} \]
Luachanna easpónantúla a ríomh:
[Q(10) = 200 × 0.0821]
[Q(10) thart ar 16.42 C]
Mar sin, tar éis 10 soicind, is é an muirear atá fágtha ar an toilleoir ná thart ar 16.42 C.
Ceist Shamplach 3: Meath Ceimiceach
Ceist:
Tá tairiseach meathlaithe de _( \lambda = 0.05 \text{ laethanta}^{-1} \) ag ceimiceán. Cá fhad a thógfaidh sé ar an gceimiceán laghdú go 25% dá mhéid bunaidh?
Plé:
Tosaímid leis an bhfoirmle ghinearálta le haghaidh meath easpónantúil:
[N(t) = N_0 e^{-Δt}]
Ba mhaith linn go mbeadh N(t) 25% de \( N_0 \), ionas go mbeidh:
\[ 0.25 N_0 = N_0 e^{-0.05 t} \]
Ag fáil réidh le \(N_0 \) ón dá thaobh:
\[ 0.25 = e^{-0.05 t} \]
Ag baint úsáide as logartaim nádúrtha chun cásanna easpónantúla a réiteach:
[\ln 0.25 = -0.05 t \]
\[ -1.3863 = -0.05 t \]
Ag réiteach le haghaidh \(t \):
[t = \frac{1.3863}{0.05} \]
\[ t \thart ar 27.726 \text{ lá} \]
Mar sin, is é an t-am a thógann sé don cheimiceán laghdú go 25% dá mhéid tosaigh ná thart ar 27.726 lá.
Ceist Shamplach 4: Meath Daonra Baictéarach
Ceist:
Laghdaíonn daonra baictéarach ar ráta easpónantúil ionas go mbeidh leath an daonra ann tar éis 3 uair an chloig. Má bhí 8000 baictéar sa daonra tosaigh, cé mhéad baictéar atá fágtha tar éis 9 n-uaire an chloig?
Plé:
Is eol go bhfuil an leathré \(t_{1/2} = 3 \) uair an chloig. Ar dtús, aimsímid an tairiseach meathlaithe \(\lambda \):
[ \lambda = \frac{\ln2}{t_{1/2}} \]
[ \lambda = \frac{\ln2}{3} \approx 0.231 \text{ uair}^{-1} \]
Ina dhiaidh sin, úsáidimid an fhoirmle meathlaithe easpónantúil:
[N(t) = N_0 e^{-Δt}]
[N(9) = 8000 e^{-0.231 \times 9} \]
Luachanna easpónantúla a ríomh:
\[ N(9) = 8000 e^{-2.079} \]
[N(9) = 8000 × 0.125]
\[ N(9) \thart ar 1000 \]
Mar sin, tar éis 9 n-uaire an chloig, beidh thart ar 1000 baictéar fágtha.
Conclúid
Cuireann an tsamhail meathlaithe easpónantúil cur chuige éifeachtach ar fáil chun fadhbanna a bhaineann le próisis mheathlaithe a réiteach i réimse feidhmeanna eolaíochta agus innealtóireachta. Trí thuiscint a fháil ar choincheapa bunúsacha amhail tairiseacha meathlaithe, leathréanna, agus úsáid foirmlí easpónantúla, is féidir linn an t-athrú i gcainníocht le himeacht ama a ríomh go réasúnta éasca. Ba cheart go gcuideodh na fadhbanna cleachtais a pléadh thuas linn coincheap an mheathlaithe easpónantúil a thuiscint agus a chur i bhfeidhm ar chásanna níos casta.
