Ceisteanna Samplacha ag Plé Dóchúlacht Imeachtaí Comhchodacha
Réamhrá ar Dhóchúlacht Imeachtaí Comhchodacha
Is brainse den mhatamaitic í an dóchúlacht a dhéanann staidéar ar an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhas. Is é dóchúlacht teagmhais chomhchodach an dóchúlacht go dtarlóidh teagmhas ina bhfuil níos mó ná teagmhas amháin i gceist. Mar shampla, is samplaí d’imeachtaí comhchodacha iad an dóchúlacht go rollfar uimhir chothrom ar dhísle agus ás ó dheic cártaí imeartha. Pléifear roinnt fadhbanna samplacha san alt seo agus pléifear dóchúlacht imeachtaí comhchodacha.
Coincheap Bunúsach na Dóchúlachta maidir le hImeachtaí Comhchodacha
Tá dhá chineál imeachtaí cumaisc ann:
1. Imeachtaí Eisiatacha Frithpháirteacha: Dhá imeacht nach féidir leo tarlú ag an am céanna. Mar shampla, agus dísle á chaitheadh, is imeachtaí eisiatacha frithpháirteacha iad na himeachtaí ina gcaitear 2 agus 5 toisc nach féidir an dá uimhir a chaitheadh ag an am céanna.
2. Imeachtaí Neamh-Eisiacha: Dhá imeacht a fhéadann tarlú ag an am céanna. Mar shampla, i dtarraingt cártaí imeartha, ní imeachtaí frithpháirteacha iad na himeachtaí ina bhfaightear cárta croí (♥) agus cárta leis an uimhir 10 mar go bhfuil cárta croí ann leis an uimhir 10.
Seo roinnt foirmlí bunúsacha a úsáidtear chun dóchúlacht imeachtaí cumaisc a ríomh:
– P(A nó B) (i gcás imeachtaí nach bhfuil eisiach go frithpháirteach): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A nó B) (i gcás imeachtaí atá eisiach go frithpháirteach): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A agus B) (le haghaidh imeachtaí neamhspleácha): \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Ceisteanna Samplacha agus Plé
Ceist Shamplach 1: Dísle
Ceist:
Cad é an dóchúlacht go bhfaighfear uimhir chothrom nó uimhir níos mó ná 4 ar dhísle?
Plé:
Ar dtús, déanaimis na himeachtaí a shainmhíniú:
– Imeacht A: Uimhir chothrom a fháil (2, 4, 6)
– Imeacht B: Uimhir níos mó ná 4 a fháil (5, 6)
Ansin, cinnfimid dóchúlacht gach teagmhais:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Ós rud é go bhfuil uimhir 6 san áireamh in imeachtaí A agus B araon, ní mór dúinn \(P(A \cap B)\)\ a ríomh:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (toisc nach bhfuil ach uimhir amháin, eadhon 6, san áireamh in A agus B araon)
Trí úsáid a bhaint as an bhfoirmle le haghaidh imeachtaí neamh-eisiatacha:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
Déanaimis ainmneoirí na gcodán seo a bheith mar an gcéanna:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Mar sin, is é an dóchúlacht uimhir chothrom nó uimhir níos mó ná 4 a fháil ná \(\frac{2}{3}\).
Ceist Shamplach 2: Cártaí Imeartha
Ceist:
Cad é an dóchúlacht go bhfaighfear ás nó spád as deic cártaí imeartha?
Plé:
Ar dtús, déanaimis na himeachtaí a shainmhíniú:
– Imeacht A: Cárta Áis a fháil (4 san iomlán, ceann amháin do gach dath)
– Imeacht B: Cárta spád a fháil (13 san iomlán)
Ansin, cinnfimid dóchúlacht gach teagmhais:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Ós rud é go bhfuil Ás na Spáide san áireamh in imeacht A agus B araon, ní mór dúinn \(P(A \cap B)\)\ a ríomh:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Trí úsáid a bhaint as an bhfoirmle le haghaidh imeachtaí neamh-eisiatacha:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
Déanaimis ainmneoirí na gcodán seo a bheith mar an gcéanna:
\[
P(A ⋅ B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]
Mar sin, is é an dóchúlacht go bhfaighfear ás nó spád ná \(\frac{4}{13}\).
Fadhb Shamplach 3: Liathróid i mBosca
Ceist:
I mbosca tá 3 liathróid dhearg, 4 liathróid ghorm, agus 5 liathróid uaine. Má tharraingítear liathróid amháin go randamach, cad é an dóchúlacht go bhfaighfear liathróid dhearg nó liathróid uaine?
Plé:
Ar dtús, déanaimis na himeachtaí a shainmhíniú:
– Imeacht A: Liathróid dhearg a fháil (uimhir 3)
– Imeacht B: Liathróid ghlas a fháil (uimhir 5)
Ansin, cinnfimid dóchúlacht gach teagmhais:
– Líon iomlán na liathróidí = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Ós rud é nach féidir le haon liathróid a bheith dearg agus glas ag an am céanna, tá na himeachtaí seo eisiach dá chéile:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Déanaimis ainmneoirí na gcodán seo a bheith mar an gcéanna:
\[
P(A ≤ B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]
Mar sin, is é an dóchúlacht liathróid dhearg nó liathróid uaine a fháil ná \(\frac{2}{3}\).
Ceist Shamplach 4: Dhá Bhoinn
Ceist:
Má chaitear dhá bhonn ag an am céanna, cad é an dóchúlacht go mbeidh ceann amháin ar a laghad le feiceáil?
Plé:
Sainmhínímid Imeacht A: íomhá amháin ar a laghad a fháil.
Tá ceithre thoradh féideartha ann as dhá bhonn a chaitheamh:
1. HH
2. HT
3. TH
4. TT
Is iad seo a leanas na himeachtaí ina bhfuil íomhá amháin ar a laghad:
– HT
– TH
– TT
Déanaimis dóchúlacht gach ceann a ríomh:
– Líon na n-imeachtaí féideartha (iomlán): 4
– Líon na n-imeachtaí ina bhfuil íomhá amháin ar a laghad: 3
\[
P(A) = \frac{Líon na n-imeachtaí le ceann amháin ar a laghad}{Líon iomlán na n-imeachtaí} = \frac{3}{4}
\]
Mar sin, is é an dóchúlacht go mbeidh íomhá amháin ar a laghad le feiceáil ná \(\frac{3}{4}\).
Conclúid
Léiríonn an plé ar na fadhbanna thuas conas is féidir linn dóchúlacht teagmhais chomhchodach a ríomh, bíodh sé eisiach go frithpháirteach nó nach ea. Trí thuiscint a fháil ar na coincheapa bunúsacha agus na foirmlí cearta a úsáid, is féidir linn dóchúlacht teaglamaí áirithe imeachtaí a chinneadh i gcásanna laethúla éagsúla. Lean ort ag cleachtadh do scileanna le fadhbanna éagsúla chun a bheith níos inniúla ag cinneadh dóchúlacht imeachtaí comhchodacha.
