Sampla de Cheist Phlé ar Luach Ionchais Dáilte Gnáth
Tá an dáileadh gnáth, ar a dtugtar an dáileadh Gaussach freisin, ar cheann de na dáiltí dóchúlachta leanúnacha is minice a úsáidtear i staitisticí agus i ndóchúlacht. Úsáidtear an dáileadh seo go minic mar thoimhde bhunúsach i dtátail staitistiúla éagsúla mar gheall ar a airíonna matamaiticiúla fabhracha, amhail siméadracht agus a uathúlacht i bparaiméadarú le meán (µ) agus diall caighdeánach (σ). Pléifidh an t-alt seo samplaí agus pléifidh sé luach ionchais an dáilte gnáth chun tuiscint níos doimhne a thabhairt ar an gcoincheap seo.
Tuiscint ar an Dáileadh Gnáth
Léirítear an dáileadh gnáth le cuar clog siméadrach, agus an chuid is mó de na luachanna dírithe timpeall an luacha lárnaigh, nó an mheáin. Laistigh den dáileadh seo, is dhá pharaiméadar thábhachtacha iad an meán (µ) agus an diall caighdeánach (σ) a chinneann suíomh agus méid an scaipthe sna sonraí.
Is é feidhm dlúis dóchúlachta (PDF) an dáilte gnáth ná:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{-\frac{(x – μ)^2}{2\sigma^2}}\]
Cá háit:
– Is é \( \mu \) an meán nó an meán
– Is é \( \sigma \) an diall caighdeánach
– Is athróg randamach í \(x \)
Luach Ionchais i nDáileadh Gnáth
Is ionann luach ionchais athróg randamach le dáileadh gnáth agus meán an dáilte. Más ionann \(X \sim N(\mu, \sigma^2) \), ansin is é an luach ionchais \(E(X) \) ná:
[E(X) = μ]
Leanfaimid orainn le roinnt samplaí de fhadhbanna a bhaineann le luachanna ionchais i ndáiltí gnáth chun ár dtuiscint a neartú.
Ceisteanna Samplacha agus Plé
Ceist Shamplach 1:
Abair gur athróg randamach dáilte go gnáth í (X) le (mu = 50) agus (sigma = 10). Ríomh luach ionchais (X).
Plé:
Mar a luadh cheana, i ndáileadh gnáth, is ionann an luach ionchais \(E(X) \) agus \(\mu \). Mar sin,
[E(X) = μ = 50]
Ceist Shamplach 2:
I gcás athróg randamach Y atá dáilte go gnáth le mu = 120 agus sigma = 15. Faigh luach ionchais Y.
Plé:
Ar nós an chéad shampla, is é luach ionchais \(Y \) an luach lár nó meán an dáilte gnáth, eadhon:
[E(Y) = μ = 120]
Ceist Shamplach 3:
Má leanann an athróg randamach _(Z)_ dáileadh gnáth le _(\mu = 0 \) agus _(\sigma = 1 \) (dáileadh gnáth caighdeánach), cad é luach ionchais _(Z)?
Plé:
Tá meán \( \mu = 0 \) ag an dáileadh gnáth caighdeánach, mar sin is é an luach ionchais \(E(Z) \) ná:
[E(Z) = μ = 0]
Ceist Shamplach 4:
Abair gur athróg randamach dáilte go gnáth í W le meán (mu = 75) agus diall caighdeánach (sigma = 20). Má shainmhínímid athróg randamach nua (V = 2W + 3), cad é an luach ionchais de V?
Plé:
Chun luach ionchais \(V \) a fháil, ní mór dúinn airí líneachta an luacha ionchais a úsáid. Agus \(V = 2W + 3 \) tugtha, ansin:
\[ E(V) = E(2W + 3) \]
Bunaithe ar airí líneachta an luacha ionchais, is féidir linn an tairiseach a dheighilt ón athróg randamach:
[E(V) = 2E(W) + E(3)]
Agus a fhios againn gurb é an tairiseach féin luach ionchais tairiseach:
\[E(3) = 3 \]
Agus is é luach ionchais \(W \) meán an dáilte gnáth \(W \):
[E(W) = μ = 75]
Mar sin,
[E(V) = 2 × 75 + 3]
\[ E(V) = 150 + 3 \]
\[ E(V) = 153 \]
Ceist Shamplach 5:
Leanann an athróg randamach Q dáileadh gnáth le meán (μ = 40) agus diall caighdeánach (sigma = 5). Cad é an luach ionchais de Q má tá U = Q/2?
Plé:
Úsáidimid an prionsabal céanna agus atá i sampla 4, eadhon airí líneachta an luacha ionchais. Ós rud é go bhfuil \( U = Q/2 \), ansin:
[E(U) = E(Q}{2)]
Bunaithe ar airí líneachta an luacha ionchais:
[E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]
Tá a fhios againn gurb é luach ionchais \(Q \) meán an dáilte gnáth \(Q \):
[E(Q) = µm = 40]
Mar sin,
[E(U) = \frac{1}{2} \times 40 \]
\[E(U) = 20 \]
Conclúid
I ndáileadh gnáth, bíonn luach ionchais athróg randamach cothrom i gcónaí le meán (µ) an dáilte. Léiríonn na fadhbanna samplacha thuas coinníollacha éagsúla chun an luach ionchais a ríomh ag baint úsáide as an airí líneachta. Trí thuiscint a fháil ar an gcoincheap bunúsach seo, is fusa déileáil le fadhbanna dáilte gnáth i staitisticí agus i ndóchúlacht.
Tá an dáileadh gnáth ríthábhachtach i staitisticí mar go n-úsáidtear é i raon leathan feidhmeanna praiticiúla, lena n-áirítear tástáil hipitéisí, meastachán paraiméadair, agus infeireachtaí staitistiúla éagsúla eile. Is céim thábhachtach in anailís sonraí í tuiscint mhaith ar luach ionchais an dáilte seo.
Tá súil agam go dtugann an t-alt seo míniú soiléir agus úsáideach ar an luach ionchais sa dáileadh gnáth mar aon le ceisteanna agus plé samplacha ábhartha.
