Sampla de Cheisteanna Plé maidir le Modh na gCearnóg is Lú
Is modh staitistiúil é an Modh Cearnóg is Lú (LEM) a úsáidtear chun an líne is fearr a oireann a aimsiú a thuarann sonraí ar an mbealach is éifeachtaí. Úsáidtear an modh seo go minic in anailís aischéimnithe líneach chun an gaol idir athróga neamhspleácha agus spleácha a bhrath. Clúdóidh an t-alt seo coincheapa bunúsacha an mhodha cearnóg is lú, mar aon le samplaí agus mínithe céim ar chéim chun tuiscint níos doimhne a fháil ar an gcaoi a n-oibríonn an modh seo.
Coincheapa Bunúsacha na Modhanna Cearnóg is Lú
Is é cuspóir mhodh na gcearnóg is lú suim chearnóg na difríochtaí idir na luachanna breathnaithe agus na luachanna a thuar an tsamhail aischéimnithe a íoslaghdú. Is féidir cothromóid líne aischéimnithe líneach shimplí a scríobh mar:
\[y = a + bx \]
An mana:
– Is é \(y \) an athróg spleách,
– Is é \(x \) an athróg neamhspleách,
– Is é (a) an trasnú (luach (y) nuair a bhíonn (x = 0)),
– Is é \(b \) fána na líne (fána, nó comhéifeacht aischéimniúcháin).
Meastar leis an modh cearnóg is lú na paraiméadair \(a \) agus \(b \) a íoslaghdaíonn an fheidhm seo a leanas:
[SSE = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2]
I gcás ina seasann SSE do Shuim na nEarráidí Cearnógacha, seasann \(y_i \) don luach iarbhír, agus seasann \( \hat{y_i} = a + bx_i \) don luach tuartha.
Céimeanna Modh na gCearnóg Íosta
Chun an coincheap a shoiléiriú, réiteoimid fadhb shamplach a bhaineann le húsáid an mhodha cearnóg is lú.
Sampla fadhbanna
Agus na sonraí seo a leanas á gcur san áireamh:
| x (Uaireanta staidéir) | y (Scór scrúdaithe) |
|——————–|——————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
Aimsigh an líne aischéimniúcháin líneach is fearr a oireann do na sonraí.
Plé
1. Meán \( \bar{x} \) agus \( \bar{y} \) a ríomh
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. Paraiméadar b (Fána) a Ríomh
Ríomhtar an paraiméadar \(b \) mar seo a leanas:
\[
b = \frac{\sum(x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum(x_i – \bar{x})^2}
\]
Ag ríomh gach comhpháirte:
\[
(x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
Mar sin:
\[
b = \frac{96}{40} = 2.4
\]
3. Ag ríomh an pharaiméadair \(a \) (idircheapadh)
Ag baint úsáide as meán \( \bar{x} \) agus \( \bar{y} \):
\[
a = \bar{y} – b \bar{x} = 93 – 2.4 \times 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. Scríobh an Chothromóid Líne Aischéimnithe
Leis na paraiméadair a fuarthas, is féidir linn cothromóid na líne aischéimnithe a scríobh:
\[
y = 78.6 + 2.4x
\]
Léirmhíniú agus Fíorú
Chun a chinntiú go n-oireann an líne athchéimnithe seo, is féidir linn an luach-y tuartha (\(\hat{y}\)) a ríomh do gach x sna sonraí tosaigh, chomh maith le Suim na nEarráidí Cearnógacha (SSE) a ríomh chun cruinneas an réamhaisnéise a bhailíochtú.
| x | y | \(\hat{y}\) | \((y – \hat{y})^2\) |
|—|—-|————|——————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2= 0.16|
SSS:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
Le SSE réasúnta beag, is féidir linn a thabhairt i gcrích go bhfuil an líne aischéimniúcháin a tháirgtear leis an modh na gcearnóg is lú oiriúnach do na sonraí seo.
Conclúid
Is uirlis chumhachtach anailíse staitistiúla í an Modh Cearnóg is Lú chun an líne is fearr a oireann do shraith sonraí a chinneadh, ag íoslaghdú earráide tuartha bunaithe ar chearnóg na ndiall. Trí na céimeanna seo a leanas a úsáid: an meán a ríomh, an fána agus an trasnú a mheas, agus cothromóid na líne aischéimnithe a scríobh agus a fhíorú, is féidir linn luach an athróg spleáigh a thuar go cruinn ó na hathróga neamhspleácha.
Tá tuiscint mhaith ar an modh seo thar a bheith úsáideach i réimsí ar nós na heacnamaíochta, na bithstaitisticí, na hinnealtóireachta agus na n-eolaíochtaí sóisialta, áit a gcuirtear anailís aischéimnithe i bhfeidhm go minic. Léiríonn an t-alt seo, le samplaí coincréiteacha, tábhacht agus úsáideacht na modheolaíochta seo in anailís sonraí.
