Ceisteanna Samplacha agus Plé ar Chomhghaol Móimint Táirge
Is modh staitistiúil é Comhghaol Táirge-Nóiméad, ar a dtugtar Comhghaol Pearson freisin, a úsáidtear chun neart agus treo caidrimh líneach idir dhá athróg a thomhas. Tá an modh seo úsáideach i réimsí éagsúla, ó thaighde acadúil agus anailís ghnó go meastóireacht ar thurgnaimh sna heolaíochtaí nádúrtha. Pléifidh an t-alt seo roinnt fadhbanna samplacha agus a réitigh chun Comhghaol Táirge-Nóiméad a ríomh.
Pendahuuan
Sula dtéimid isteach sna ceisteanna samplacha, is dea-smaoineamh é bunchoincheap an Chomhghaolmhaireachta Móiminte Táirge a thuiscint. Is é seo an fhoirmle ghinearálta a úsáidtear chun comhéifeacht comhghaolmhaireachta Pearson (\(r\)) a ríomh:
[ r = \frac{n(\sum{X}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Dimana:
– Is é \(n \) líon na péirí sonraí.
– Is é \( \sum{XY} \) suim tháirgí \( X \) agus \( Y \).
– Is é \( \sum{X} \) suim na n-athróg \(X \).
– Is é \( \sum{Y} \) suim na n-athróg \(Y \).
– Is é \( \sum{X^2} \) suim chearnóga an athróg \(X \).
– Is é \( \sum{Y^2} \) suim chearnóga an athróg \(Y \).
Bíonn comhéifeacht comhghaolmhaireachta Pearson (\(r \)) idir -1 agus 1 i gcónaí. Léiríonn comhghaol dearfach go mbogann an dá athróg sa treo céanna, agus léiríonn comhghaol diúltach go laghdaíonn an ceann eile de réir mar a mhéadaíonn athróg amháin. Má \(r = 0 \), níl aon chomhghaol líneach idir an dá athróg.
Ceist Shamplach 1
Dáta
Seo a leanas sonraí scór scrúdaithe matamaitice agus fisice do 5 mhac léinn:
| Mac Léinn | Matamaitic (X) | Fisic (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Céimeanna chun Réiteach
1. Comhpháirteanna Tábhachtacha a Ríomh:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\90) + (78\85) + (85\80) + (70\70) + (80\88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Cuir isteach sa fhoirmle:
[ r = \frac{n(\sum{X}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
[r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Torthaí a Ríomh:
– Uimhreoir: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Ainmneoir:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \thart \sqrt{976856} \thart 989.36 \)
[r = \frac{626}{989.36} \thart ar 0.633 \]
Dá bhrí sin, is é 0.633 comhéifeacht comhghaolmhaireachta Pearson idir scóir na tástála matamaitice agus fisice, rud a léiríonn go bhfuil comhghaol measartha dearfach idir an dá athróg.
Ceist Shamplach 2
Dáta
Seo a leanas sonraí ar luach díolacháin agus ar chaiteachas fógraíochta ó 6 mhí i gcuideachta:
| Mí | Fógraíocht (X) | Díolacháin (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Céimeanna chun Réiteach
1. Comhpháirteanna Tábhachtacha a Ríomh:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000 \ 2500) + (1800 \ 2100) + (2200 \ 2700) + (2400 \ 2900) + (2300 \ 3000) + (2500 \ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Cuir isteach sa fhoirmle:
[ r = \frac{n(\sum{X}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
[r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Torthaí a Ríomh:
– Uimhreoir: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Ainmneoir:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \thart \sqrt{9343200000000} \thart 3056246.20 \)
[r = \frac{3000000}{3056246.20} \thart ar 0.981 \]
Dá bhrí sin, is é 0.981 comhéifeacht comhghaolmhaireachta Pearson idir caiteachas fógraíochta agus luach díolacháin, rud a léiríonn go bhfuil comhghaol dearfach an-láidir idir an dá athróg.
Conclúid
Is uirlis an-úsáideach í comhéifeacht comhghaolmhaireachta Pearson (\(r\)) chun an gaol líneach idir dhá athróg a thuiscint. Sna samplaí a chuirtear ar fáil, feicimid conas an luach \(r\) a ríomh agus é a léirmhíniú. Léiríonn comhghaol níos airde (níos gaire do 1 nó -1) gaol níos láidre, agus léiríonn comhghaol níos ísle (níos gaire do 0) gaol níos laige. Tá sé tábhachtach a thabhairt faoi deara nach léiríonn comhghaol cúisíocht; léiríonn sé go simplí go bhfuil gaol idir an dá athróg.
