Sampla de cheist phlé ar an gcomhéifeacht cinntiúcháin
Is paraiméadar tábhachtach in anailís aischéimnithe é an chomhéifeacht cinntitheach (R²), rud a léiríonn cé chomh maith agus a mhíníonn samhail aischéimnithe athraitheacht iarbhír na sonraí. San alt seo, míneoimid coincheap an chomhéifeacht chinntitheach trí shampla agus plé mionsonraithe.
Coincheap Bunúsach an Chomhéifeacht Chinntiúcháin
Déantar an chomhéifeacht cinntiúcháin nó \(R^2 \) a thomhas ar scála ó 0 go 1, áit a bhfuil:
– \( R^2 = 0 \) léiríonn sé nach bhfuil an tsamhail aischéimniúcháin in ann athraitheacht na sonraí a mhíniú ar chor ar bith.
– Léiríonn \(R^2 = 1 \) go bhfuil an tsamhail aischéimniúcháin in ann athraitheacht na sonraí go léir a mhíniú go foirfe.
Is é seo an fhoirmle bhunúsach chun an chomhéifeacht cinntiúcháin a ríomh:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
An mana:
– Is é SSR (Suim na nIarmhar Cearnógach) suim chearnóg na difríochtaí idir na luachanna a thuar an tsamhail agus na luachanna iarbhír.
– Is é SST (Suim Iomlán na gCearnóg) suim iomlán chearnóga na difríochtaí idir an luach iarbhír agus meán na luachanna iarbhír.
Sampla fadhbanna
Pléimis fadhb shamplach chun tuiscint níos doimhne a fháil ar ríomh an chomhéifeacht chinntiúcháin.
Sampla fadhbanna:
Abair go bhfuil sonraí againn ar líon na n-uaireanta staidéir (X) agus scóir scrúdaithe (Y) 10 mac léinn:
| Mic Léinn | Uaireanta Staidéir (X) | Scór Scrúdaithe (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Cruthóimid samhail shimplí aischéimnithe líneach ina ndéantar scóir scrúdaithe (Y) a thuar bunaithe ar uaireanta staidéir (X).
Plé
1. Samhail Aischéimnithe Líneach Shimplí a Thógáil
Tá an fhoirm seo a leanas ag samhail shimplí aischéimniúcháin líneach:
[Y = a + bX]
An mana:
– Is é \(Y \) an scór tástála tuartha.
– Is é \(X \) líon na n-uaireanta staidéir.
– Is é \(a \) an trasnú (an pointe trasnaithe ar ais Y nuair a bhíonn X = 0).
– Is é \(b \) an fána (claonadh na líne aischéimnithe).
Chun na paraiméadair \(a \) agus \(b \) a ríomh, úsáidimid an fhoirmle seo a leanas:
[b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
[a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n}]
I gcás ina seasann \(n \) do líon na sonraí (sa chás seo n = 10).
Ón tábla is féidir linn a ríomh:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
Ríomhaimis b ar dtús:
[b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
[b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296}]
[b = \frac{416}{104} \]
\[b = 4 \]
Ansin, ríomhaimid:
[a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
[a = \frac{704 – 144}{10} \]
[a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Mar sin, is é seo an tsamhail aischéimniúcháin líneach a fhaighimid:
\[Y = 56 + 4X \]
2. Ríomh an Luach Réamh-mheasta (Y')
Ansin, ríomhaimid an luach tuartha \(Y' \) do gach \(X \):
| Mic Léinn | Uaireanta Staidéir (X) | Scór Scrúdaithe (Y) | Scór Réamh-mheasta (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. SSR agus SST a ríomh
Ansin, ríomhaimid SSR agus SST chun \( R^2 \) a fháil.
SSR:
[SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
[SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2]
[SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36]
\[SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
An mana:
[\bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
[SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2]
\[SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[SST = 1107.44 \]
4. Ag ríomh an chomhéifeacht chinntitheach \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
[R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[R^2 = 1 – 0.41 \]
\[R^2 = 0.59 \]
Conclúid
Ón ríomh thuas, fuaireamar comhéifeacht cinntiúcháin (R2 = 0.59). Léiríonn sé seo gur féidir leis an tsamhail aischéimniúcháin líneach a chruthaíomar thart ar 59% den athraitheacht i scóir scrúdaithe bunaithe ar uaireanta staidéir a mhíniú. D’fhéadfadh an 41% eile den athraitheacht a bheith mar gheall ar fhachtóirí eile nach bhfuil san áireamh sa tsamhail.
Trí thuiscint a fháil ar na céimeanna agus na ríomhanna thuas, is féidir linn tábhacht an chomhéifeacht chinntiúcháin a fheiceáil agus muid ag measúnú cé chomh maith agus a mhíníonn an tsamhail aischéimnithe a thógaimid athraitheacht iarbhír na sonraí. Is uirlis an-úsáideach í in anailís staitistiúil agus i samhaltú sonraí.
