Ceisteanna Samplacha a Phléann Saintréithe Feidhmeanna Cearnógacha
Is ábhar tábhachtach sa mhatamaitic í an fheidhm chearnach a bhíonn le fáil go minic i gcuraclam na hardteistiméireachta. Is é foirm ghinearálta na feidhme cearnaí ná _(f(x) = ax^2 + bx + c_), áit a bhfuil _(a_), _(b_), agus _(c_) ina dtairiseacha le _(a_neq 0_). Áirítear leis an bplé ar shaintréithe feidhmeanna cearnacha gnéithe éagsúla amhail ais na siméadrachta, an buaicphointe, luachanna uasta nó íosta, agus treo na parabóile. Pléifidh an t-alt seo roinnt fadhbanna samplacha agus a réitigh chun tuiscint níos fearr a fháil ar shaintréithe feidhmeanna cearnacha.
1. Ceist: Ais na Siméadrachta agus an Bhuaicphointe a Chinneadh
Sampla fadhbanna:
I gcás feidhm chearnach \(f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \). Faigh ais na siméadrachta agus buaicphointe na feidhme.
Plé:
Chun ais siméadrachta na feidhme cearnóige \( ax^2 + bx + c \) a chinneadh, úsáidimid an fhoirmle:
[x = -\frac{b}{2a}]
Sa fheidhm tugtha \(f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \), na luachanna \(a = 2 \) agus \(b = -4 \). Cuir na luachanna seo isteach sa fhoirmle:
[x = -\frac{-4}{2 ⋅2}]
[x = \frac{4}{4} \]
\[x = 1 \]
Mar sin, is é ais siméadrachta na feidhme ná _(x = 1_).
Chun an buaicphointe a aimsiú, cuirimid luach ais na siméadrachta isteach sa fheidhm:
[f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1]
[f(1) = 2 – 4 + 1]
[f(1) = -1]
Mar sin, is é buaicphointe na feidhme ná \( (1, -1) \).
2. Ceist: Treo Parabóile a Chinneadh
Sampla fadhbanna:
Faigh amach treo na parabóile den fheidhm chearnach \( f(x) = -3x^2 + 6x – 2 \).
Plé:
Is é luach an chomhéifeacht _(a)_ a chinneann treo na parabóile i bhfeidhm chearnaí.
– Má tá \(a > 0 \), osclaíonn an parabóil suas.
– Má tá \(a < 0 \), osclaíonn an parabóil anuas.
Sa fheidhm tugtha \(f(x) = -3x^2 + 6x - 2 \), is é an luach \(a = -3 \). Ós rud é go bhfuil (a < 0), osclaíonn an parabóil anuas.
3. Ceist: Fréamhacha Feidhme Cearnógaigh a Aimsiú Ceist Shamplach: Aimsigh fréamhacha na feidhme cearnógaí \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \).
Plé: Is féidir fréamhacha feidhme cearnógach a fháil trí fhachtóiriú nó trí úsáid a bhaint as an bhfoirmle chearnógach. Déanfaimid é a fhachtóiriú: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] Aimsigh dhá uimhir a bhíonn cothrom le 6 nuair a iolraítear iad agus -5 nuair a chuirtear le chéile iad. Is iad na huimhreacha -2 agus -3.
[x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0] Dá bhrí sin, is iad na fréamhacha: [x - 2 = 0 nó x - 3 = 0] [x = 2 nó x = 3] 4. Ceist: Luach Uasta nó Íosta Sampla Ceist: Faigh an luach íosta den fheidhm chearnach \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \).
Plé: Chun luach íosta na feidhme cearnóige \(ax^2 + bx + c \) a chinneadh, ní mór dúinn a sheiceáil an osclaíonn an parabóil suas nó síos. Má tá \(a > 0 \), osclaíonn an parabóil suas agus tá luach íosta aici; má tá \(a < 0 \), osclaíonn an parabóil síos agus tá luach uasta aici.
Sa fheidhm tugtha \(f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \), is é luach \(a = 2 \), mar sin osclaíonn an parabóil suas agus tá luach íosta aici.
Tarlaíonn an luach íosta ag an bpointe buaic. Tá a fhios againn cheana féin cad é ais na siméadrachta (x = -b). Don fheidhm seo: [x = -\frac{-4}{2 \cdot 2}] [x = \frac{4}{4}] [x = 1] Cuir (x = 1) isteach sa fheidhm chun an luach íosta a fháil: [f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 5] [f(1) = 2 - 4 + 5] [f(1) = 3] Dá bhrí sin, is é 3 luach íosta na feidhme.
5. Ceist: Graf Feidhme Cearnógaigh Sampla Ceist: Cruthaigh graf den fheidhm chearnógach \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \).
Plé: Chun graf de fheidhm chearnach a tharraingt, ní mór dúinn roinnt tréithe tábhachtacha a aimsiú amhail ais na siméadrachta, an rinnphointe, agus fréamhacha na feidhme, chomh maith le treo na parabóile.
1. Ais Siméadrachta: [x = -\frac{b}{2a}] Sa fheidhm (f(x) = -x^2 + 4x - 3), is iad na luachanna (a = -1) agus (b = 4) iad.
2. [x = -\frac{4}{2(-1)}] [x = -\frac{4}{-2}] [x = 2] 2. Buaicphointe: Cuir \(x = 2 \) isteach sa fheidhm chun an buaicphointe a fháil: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 \] \[ f(2) = -4 + 8 - 3 \] \[ f(2) = 1 \] Is é \((2, 1) \) an buaicphointe.
3. Treo na Parabóile: Ós rud é go bhfuil \(a = -1 \), osclaíonn an parabóil anuas.
4. Fréamhacha Feidhme Cearnógaigh: [-x^2 + 4x - 3 = 0] Is féidir linn an fhoirmle chearnógaigh a úsáid: [x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}] I gcás (a = -1), (b = 4), agus (c = -3): [x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)}] [x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2}] [x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2}] [x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2}] Dhá réiteach: [x = \frac{-4 + 2}{-2} = 1] [x = \frac{-2 - 2}{-2} = 3 \] Is iad na fréamhacha \(x = 1 \) agus \(x = 3 \).
Leis an bhfaisnéis seo go léir, is féidir linn feidhm chearnach a ghrafadh. Tá buaicphointe ag an parabóil seo ag (2, 1), osclaíonn sé anuas, le fréamhacha ag x = 1 agus x = 3.
Conclúid Trí na samplaí ceisteanna atá pléite, is féidir linn tuiscint níos fearr a fháil ar shaintréithe éagsúla feidhmeanna cearnacha. Tá eolas ar conas ais na siméadrachta, an buaicphointe, an luach uasta nó íosta, treo na parabóile, agus fréamhacha na feidhme cearnóige a chinneadh an-tábhachtach chun cruth agus airíonna na parabóile a chur síos. Cuirfidh tuiscint mhaith ar na coincheapa seo bunús láidir ar fáil do dhaltaí chun tuilleadh topaicí sa mhatamaitic a iniúchadh.
