Ceisteanna Samplacha a Phléann Feidhmeanna Cearnógacha
Is ábhar tábhachtach iad feidhmeanna cearnacha a phléitear sa mhatamaitic, go háirithe sa mhatamaitic thánaisteach. Tá an fhoirm ghinearálta _(f(x) = ax^2 + bx + c)_ ag an bhfeidhm seo, áit a bhfuil _(a), _(b), agus _(c) ina tairiseacha le _(a ≤ 0). Pléifidh an t-alt seo roinnt fadhbanna samplacha a bhaineann le feidhmeanna cearnacha mar aon le mínithe mionsonraithe chun cabhrú le daltaí an coincheap seo a thuiscint níos fearr.
1. Fréamhacha Feidhme Cearnógaí a Chinneadh
Ceist 1: Aimsigh fréamhacha na feidhme cearnóige seo a leanas:
[f(x) = 2x^2 – 3x – 5]
Plé:
Chun fréamhacha feidhme cearnógaigh a aimsiú, is féidir linn an fhoirmle chearnógach a úsáid, eadhon:
[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}]
Sa fheidhm chearnach \(f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \), is féidir linn luachanna \(a\), \(b\), agus \(c\) a aithint:
– \(a = 2 \)
– \(b = -3 \)
– \(c = -5 \)
Is iad seo a leanas na céimeanna:
1. Aimsigh an t-idirdhealaitheoir (\( Δ\)):
[Delta = b^2 – 4ac]
[Delta = (-3)^2 – 4(2)(-5)]
\[ \Delta = 9 + 40 \]
\[ \Delta = 49 \]
2. Úsáid an fhoirmle chearnach chun na fréamhacha a fháil:
[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}]
[x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} \]
[x = \frac{3 \pm7}{4} \]
Mar sin faighimid dhá réiteach:
[x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]
[x_2 = \frac{3 – 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
Mar sin is iad fréamhacha na feidhme ná _(x = 2.5_) agus _(x = -1_).
2. Buaicphointí Feidhme Cearnógaí a Chinneadh
Ceist 2: Faigh amach buaicphointe na feidhme cearnóige seo a leanas:
[g(x) = -x^2 + 4x – 3]
Plé:
Is féidir buaicphointe feidhme cearnógach a chinneadh ag baint úsáide as an bhfoirmle:
\[ x_{\text{buaicphointe}} = \frac{-b}{2a} \]
Sa fheidhm chearnach \(g(x) = -x^2 + 4x – 3 \), is féidir linn luachanna \(a\), \(b\), agus \(c\) a aithint:
– \(a = -1 \)
– \(b = 4 \)
– \(c = -3 \)
Is iad seo a leanas na céimeanna:
1. Faigh luach \(x \) an bhuaicphointe:
\[ x_{\text{buaicphointe}} = \frac{-b}{2a} \]
[x_{\text{buaicphointe}} = \frac{-4}{2(-1)} \]
\[ x_{\text{buaicphointe}} = \frac{-4}{-2} \]
\[ x_{\text{buaicphointe}} = 2 \]
2. Faigh luach \(y \) trí \(x_{\text{vertex}} \) a chur isteach sa fheidhm:
\[ y_{\text{buaicphointe}} = g(2) \]
\[ y_{\text{buaicphointe}} = – (2)^2 + 4(2) – 3 \]
\[ y_{\text{buaicphointe}} = -4 + 8 – 3 \]
\[ y_{\text{buaicphointe}} = 1 \]
Mar sin is é buaicphointe na feidhme ná \( (2, 1) \).
3. Graf Feidhme Cearnógach a Tharraingt
Ceist 3: Tarraing graf na feidhme cearnóige seo a leanas:
[h(x) = x^2 – 2x – 3]
Plé:
Sula ndéanaimid graf de fheidhm chearnach a tharraingt, ní mór dúinn roinnt pointí tábhachtacha a bheith ar eolas againn, amhail fréamhacha, buaicphointe agus treo na parabóile.
Ag Cinneadh na bhFréamhacha
Is féidir linn an fhoirmle chearnach a úsáid chun fréamhacha \( h(x) = x^2 – 2x – 3 \) a fháil:
\[ a = 1 \]
[b = -2]
\[c = -3 \]
1. Ríomh an t-idirdhealaitheoir:
[Delta = b^2 – 4ac]
[Delta = (-2)^2 – 4(1)(-3)]
\[ \Delta = 4 + 12 \]
\[ \Delta = 16 \]
2. Ríomh na fréamhacha:
[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}]
[x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)}]
[x = \frac{2 \pm4}{2} \]
Mar sin faighimid dhá réiteach:
[x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
[x_2 = \frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
Ag Cinneadh an Bhuaicphointe
3. Úsáid an fhoirmle buaicphointe:
\[ x_{\text{buaicphointe}} = \frac{-b}{2a} \]
[x_{\text{buaicphointe}} = \frac{-(-2)}{2(1)} \]
\[ x_{\text{buaicphointe}} = 1 \]
4. Ríomh luach \(y \):
\[ y_{\text{buaicphointe}} = h(1) \]
\[ y_{\text{buaicphointe}} = (1)^2 – 2(1) – 3 \]
\[ y_{\text{buaicphointe}} = 1 – 2 – 3 \]
\[ y_{\text{buaicphointe}} = -4 \]
Mar sin is é an buaicphointe ná \( (1, -4) \).
Grafaicí a Tharraingt
– Tá na fréamhacha ag \(x = 3 \) agus \(x = -1 \).
– Tá an buaicphointe ag \( (1, -4) \).
– Ós rud é go bhfuil \(a > 0 \), osclaíonn an parabóil suas.
Plota na pointí tábhachtacha seo ar ghraf agus tarraing parabóil ag dul trína chéile.
Trí thuiscint a fháil ar fhréamhacha, ar bhuaicphointe agus ar threo na parabóile, is féidir linn graf níos foirfe de fheidhm chearnach a tharraingt.
Conclúid
Is coincheap bunúsach sa mhatamaitic í an fheidhm chearnach a bhfuil feidhmeanna forleathana aici. Cuidíonn tuiscint ar fheidhmeanna cearnacha linn ár dtuiscint ar choincheapa eile sa mhatamaitic agus sna heolaíochtaí feidhmeacha a dhoimhniú. Trí chleachtadh le samplaí agus trí thuiscint a fháil ar na céimeanna chun iad a réiteach, tá súil againn go ndoimhneoidh ár dtuiscint ar fheidhmeanna cearnacha agus go mbeidh sí níos infheidhme.
