Ceisteanna Samplacha ag Plé an Fheidhm Dáilte Déthéarmach
Is dáileadh dóchúlachta scoite é an dáileadh déthéarmach a chuireann síos ar líon na rath i dturgnamh ina bhfuil roinnt trialacha neamhspleácha le dhá thoradh féideartha: rath agus teip. Tugtar triail ar gach triail, agus is minic a úsáidtear an dáileadh déthéarmach i gcásanna ina bhfuil spéis i líon na rath trasna roinnt trialacha neamhspleácha. San alt seo, pléifimid bunchoincheapa an dáilte déthéarmaigh agus cuirfimid samplaí agus réitigh ar fáil.
Coincheapa Bunúsacha na Feidhme Dáilte Déthéarmaí
Sula dtéimid isteach sna ceisteanna samplacha agus sa phlé, pléimis roinnt coincheapa bunúsacha a bhaineann leis an dáileadh déthéarmach.
1. Sainmhíniú: Sainmhínítear an dáileadh déthéarmach mar shuim na rath i 'n' trialacha neamhspleácha, áit a bhfuil dhá thoradh féideartha ag gach triail: rath (le dóchúlacht p) nó teip (le dóchúlacht q = 1 – p).
2. Feidhm Dóchúlachta: Is í feidhm dóchúlachta an dáilte déthéarmaigh ná:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Cá háit:
– Is é \(P(X = k) \) an dóchúlacht go mbeidh k rath ann i n triail.
– Is meascán de n take k é ( \binom{n}{k} \), atá sainmhínithe mar \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– Is é \(p \) an dóchúlacht go n-éireoidh le gach triail.
– Is é \( (1-p) \) an dóchúlacht teipe ar gach triail.
3. Luach Ionchais agus Éagsúlacht:
– Is é ∫( \mu = np \) an luach ionchais (meán) den dáileadh déthéarmach.
– Is é ∫( \sigma^2 = np(1-p) \) an t-athraitheas sa dáileadh déthéarmach.
Anois, déanaimis na coincheapa seo a chur i bhfeidhm i gceist shamplach chun tuiscint níos doimhne a thabhairt.
Ceist Shamplach 1: Ríomhanna Bunúsacha ar Dháileadh Déthéarmach
Ceist:
Táirgeann cuideachta comhpháirteanna leictreonacha le dóchúlacht 0.95 go n-éireoidh le gach comhpháirt tástáil cáilíochta. Má tháirgtear 10 gcomhpháirt, ríomh an dóchúlacht go n-éireoidh le 8 gcomhpháirt go díreach an tástáil cáilíochta.
Plé:
Is féidir linn an fhoirmle dáilte déthéarmach a úsáid chun an fhadhb seo a réiteach. Ar dtús, sainaithnímid na paraiméadair seo a leanas:
– \(n \) (líon iomlán na dtrialacha) = 10
– \(k \) (líon na rath) = 8
– \(p \) (dóchúlacht ratha) = 0.95
– \(q \) (dóchúlacht teipe) = 1 – 0.95 = 0.05
Ansin cuir na luachanna seo isteach sa fhoirmle dáilte déthéarmach:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Ar dtús, ríomh an teaglaim \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 × 9 × 8!}{8! × 2!} = \frac{10 × 9}{2 × 1} = 45
\]
Ansin, ríomh na dóchúlachtaí \( (0.95)^8 \) agus \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \thart ar 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Ar deireadh, iolraigh na luachanna sin go léir chun a fháil:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 × 0.0744
\]
Mar sin, is é an dóchúlacht go dtiocfaidh 8 gcomhpháirt as 10 gcomhpháirt thar an tástáil cáilíochta ná thart ar 0.0744 nó 7.44%.
Ceist Shamplach 2: Dóchúlacht Charnach
Ceist:
Agus an comhlacht céanna fós agat, ríomh an dóchúlacht go n-éireoidh le 9 gcomhpháirt ar a laghad as 10 gcomhpháirt an tástáil cáilíochta a phasáil.
Plé:
Chun an fhadhb seo a réiteach, ní mór dúinn an dóchúlacht charnach a ríomh. Ciallaíonn an dóchúlacht go n-éireoidh le 9 as 10 gcomhpháirt ar a laghad an tástáil go ríomhaimid \( P(X \geq 9) \), ar féidir é a scríobh mar:
\[
P(X \ geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Ag baint úsáide as an bhfoirmle dáilte déthéarmach:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Ar dtús, ríomh an teaglaim do gach cás:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Ansin, ríomh na dóchúlachtaí do \(P(X = 9) \) agus \(P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \thart ar 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 × 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)^{10} × 1
\]
\[
(0.95)^{10} \thart ar 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Dóchúlacht iomlán do \( P(X ≤ 9) \):
\[
P(X ≤ 9) = 0.3151 + 0.5987 = 0.9138
\]
Mar sin, is é an dóchúlacht go n-éireoidh le 9 as 10 gcomhpháirt ar a laghad an tástáil cáilíochta ná thart ar 0.9138 nó 91.38%.
Ceist Shamplach 3: Luach Ionchais agus Athraitheas
Ceist:
Ríomh an luach ionchais agus an t-athraitheas i líon na gcomhpháirteanna a ritheann an tástáil cáilíochta as 10 gcomhpháirt a tháirgtear, le dóchúlacht rith de 0.95.
Plé:
Úsáid an fhoirmle seo a leanas:
– Luach ionchais (meán) \( \mu = np \)
– Athraitheas (sigma² = np(1-p))
Le n = 10 agus p = 0.95:
\[
µ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]
Mar sin, is é 9.5 an luach ionchais de líon na gcomhpháirteanna a ritheann an tástáil cáilíochta, agus is é 0.475 an t-athraitheas.
Conclúid
Trí na trí shampla-fhadhb thuas, phléamar conas dóchúlacht a ríomh ag baint úsáide as an dáileadh déthéarmach i gcásanna éagsúla: dóchúlacht chruinn, dóchúlacht charnach a ríomh, agus luach ionchais agus athraitheas a ríomh. Tá eolas ar an dáileadh déthéarmach úsáideach i réimsí éagsúla, amhail déantúsaíocht, taighde leighis, agus staitisticí sóisialta, áit ar féidir torthaí turgnaimh arís agus arís eile le dhá thoradh féideartha a anailísiú chun cabhrú le cinnteoireacht. Tá súil againn go gcuideoidh na sampla-fhadhbanna agus na plé a chuirtear ar fáil le do thuiscint ar an dáileadh déthéarmach a fheabhsú.
