Ceisteanna Samplacha agus Plé ar Dháileadh Déthéarmach
Tá an dáileadh déthéarmach ar cheann de na dáiltí dóchúlachta scoite is coitianta a úsáidtear. Tá sé úsáideach chun samhaltú a dhéanamh ar líon na rath ar fud roinnt trialacha comhionanna, neamhspleácha, agus gach ceann acu ina thoradh ar rath nó teip. San alt seo, déanfaimid iniúchadh níos doimhne ar an dáileadh déthéarmach trí roinnt samplaí agus plé mionsonraithe a sholáthar.
Réamhrá ar Dháileadh Déthéarmach
Príomhthréithe an dáilte déthéarmaigh:
1. n : Líon na dtrialacha nó na n-athrá.
2. p : Dóchúlacht ratha i ngach triail.
3. q = 1-p : Dóchúlacht teipe i ngach triail.
Is é feidhm maise dóchúlachta an dáilte déthéarmaigh ná:
[P(X = k) = {n \roghnaigh k} p^k (1-p)^{nk} \]
Cá háit:
– \( {n \roghnaigh k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \(X \): Athróg randamach a léiríonn líon na rath.
– \(k \): Líon na rath a lorgaíodh.
Ceisteanna Samplacha agus Plé
Tosaímis le roinnt fadhbanna samplacha chun tuiscint níos mine a fháil ar choincheap an dáilte déthéarmaigh.
Sampla 1: Ag Roghnú ó Ghrúpa Mac Léinn
Mar shampla, abair go bhfuil grúpa de 10 mac léinn againn, agus go bhfuil an dóchúlacht go roghnófar gach mac léinn chun páirt a ghlacadh i gcomórtas 0,3. Ba mhaith linn a fháil amach an dóchúlacht go roghnófar 4 mhac léinn go díreach.
Céim 1: Sainaithin paraiméadair an dáilte déthéarmaigh.
– \(n = 10 \)
– \(p = 0.3 \)
Céim 2: Bain úsáid as an dáileadh déthéarmach chun dóchúlacht \( X = 4 \) a ríomh.
[P(X = 4) = {10 \roghnaigh 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]
Ag ríomh \( {10 \roghnaigh 4} \):
[10 roghnaigh 4 = 10!}{4!(10-4)!} = 10!}{4!6!} = 210]
Anois ríomh \((0.3)^4 \) agus \((0.7)^6 \):
\[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
\[ (0.7)^6 = 0.117649 \]
Mar sin,
[P(X = 4) = 210 ≥ 0.0081 ≥ 0.117649 thart ar 0.20012]
Mar sin, is é an dóchúlacht go roghnófar 4 mhac léinn go díreach ná thart ar 0.20012 nó 20.012%.
Sampla 2: Dóchúlacht Níos Lú Ná nó Cothrom le 2
Anois, mar shampla, fiafraítear dínn faoin dóchúlacht go roghnófar níos lú ná beirt mhac léinn nó níos mó.
Céim 1: Caithfimid \(P(X = 0) \), \(P(X = 1) \), agus \(P(X = 2) \) a ríomh.
– I gcás \(P(X = 0) \):
[P(X = 0) = {10 \roghnaigh 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
\[ {10 \roghnaigh 0} = 1 \]
\[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
[P(X = 0) = 1 ⋅ 1 0.0282475 = 0.0282475]
– I gcás \(P(X = 1) \):
[P(X = 1) = {10 \roghnaigh 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
\[ {10 \roghnaigh 1} = 10 \]
[(0.3) ≤ (0.7)^9 = 0.1210608]
[P(X = 1) = 10 ⋅ 0.3 0.1210608 = 0.3631824]
– I gcás \(P(X = 2) \):
[P(X = 2) = {10 \roghnaigh 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
\[ {10 \roghnaigh 2} = 45 \]
[(0.3)^2 ⋅ (0.7)^8 = 0.2334744]
[P(X = 2) = 45 ⋅ 0.09 0.2334744 = 0.2334744]
Céim 2: Cuir na dóchúlachtaí le chéile.
[P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
[P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671]
Mar sin, is é an dóchúlacht go roghnófar níos lú ná nó cothrom le 2 mhac léinn ná thart ar 0.7740671 nó 77.41%.
Sampla 3: Dóchúlacht 8 ar a laghad
Má dhéantar turgnamh 12 uair, agus má tá dóchúlacht 0.5 ann go n-éireoidh leis i ngach triail, cad é an dóchúlacht go n-éireoidh leis 8 n-uaire ar a laghad?
Céim 1: Socraigh na paraiméadair déthéarmacha: \(n = 12, p = 0.5 \).
Céim 2: Faigh an dóchúlacht do (X ≤ 8).
Éilíonn sé seo roinnt dóchúlachtaí aonair a ríomh agus iad a chur le chéile:
\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]
Comhair ceann ar cheann:
– I gcás \(P(X = 8) \):
[P(X = 8) = {12 \roghnaigh 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
\[ {12 \roghnaigh 8} = 495 \]
\[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
[P(X = 8) = 495 ≥ 0.0002441406 = 0.1208496]
– I gcás \(P(X = 9) \):
[P(X = 9) = {12 \roghnaigh 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
\[ {12 \roghnaigh 9} = 220 \]
[P(X = 9) = 220 ≥ 0.0002441406 = 0.05371094]
– I gcás \(P(X = 10) \):
[P(X = 10) = {12 \roghnaigh 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
\[ {12 \roghnaigh 10} = 66 \]
[P(X = 10) = 66 ≥ 0.0002441406 = 0.01611328]
– I gcás \(P(X = 11) \):
[P(X = 11) = {12 \roghnaigh 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
\[ {12 \roghnaigh 11} = 12 \]
[P(X = 11) = 12 ≥ 0.0002441406 = 0.002929688]
– I gcás \(P(X = 12) \):
[P(X = 12) = {12 \roghnaigh 12} (0.5)^{12} \]
\[ {12 \roghnaigh 12} = 1 \]
[P(X = 12) = 1 ≥ 0.0002441406 = 0.0002441406]
Céim 3: Cuir na dóchúlachtaí go léir le chéile.
[P(X ≤ 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 thart ar 0.1938477]
Mar sin, is é an dóchúlacht go dtarlóidh 8 rath ar a laghad i 12 thriail ná thart ar 0.1938477 nó 19.38%.
Conclúid
Is coincheap bunúsach i staitisticí é an dáileadh déthéarmach atá ríthábhachtach i go leor feidhmeanna praiticiúla. Trí thuiscint a fháil ar conas dóchúlachtaí a ríomh i gcásanna éagsúla den dáileadh déthéarmach, mar a thaispeántar sna samplaí thuas, is féidir linn an coincheap seo a chur i bhfeidhm i gcásanna fíorshaoil. Neartaíonn an cleachtadh seo ár dtuiscint ar an gcaoi a n-oibríonn struchtúir dóchúlachta i gcomhthéacs soiléir agus eagraithe freisin.
