Sampla de Cheisteanna Plé maidir le Leathnú Matamaiticiúil
Is coincheap tábhachtach i ngeoiméadracht chlaochlaithe é an leathnú, nó an claochlú lena mbaineann méadú agus laghdú. Is minic a fheictear an coincheap seo i gcomhthéacsanna éagsúla, amhail staidéar patrún, siméadracht, agus go leor feidhmeanna eile sa saol réadúil. Pléifidh an t-alt seo coincheap an leathnú sa mhatamaitic agus cuirfidh sé roinnt fadhbanna agus réitigh samplacha ar fáil.
Cad is Dilation ann?
Is claochlú geoiméadrach é an leathnú lena mbaineann figiúr a mhéadú nó a laghdú faoi fhachtóir scála áirithe. I leathnú, aistreoidh pointe ar fhigiúr geoiméadrach ar shiúl ó lárphointe an leathnúcháin nó níos gaire dó faoin bhfachtóir céanna. Is féidir le leathnú an figiúr a mhéadú (fachtóir scála > 1), a laghdú (0 < fachtóir scála < 1), nó fiú a léiriú má tá an fachtóir scála diúltach. Nótaí i bhForlíonadh Agus leathnú á dhéanamh, seo a leanas roinnt nótaí a úsáidtear go minic: - Lár an Leathnaithe (P): Pointe seasta a úsáidtear mar thagairt sa phróiseas leathnúcháin. - Fachtóir Scála (k): An cóimheas faid a chinneann cé mhéad méadaithe nó laghdaithe a tharlaíonn. Má \( k > 1 \), méadófar an réad. Má \( 0 < k < 1 \), laghdófar an réad.
Abair go bhfuil pointe A le comhordanáidí (x, y) leathnaithe go pointe A' le fachtóir scála k agus lár an leathnaithe ag O (0,0), ansin is iad comhordanáidí A' ná (kx, ky). Foirmle Leathnaithe Chun comhordanáidí nua an toraidh leathnaithe de phointe a fháil, is é an fhoirmle a úsáidtear: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \] áit a bhfuil (x, y) comhordanáidí tosaigh an phointe agus k an fachtóir scála. Ceisteanna Samplacha agus Plé Ceist Shamplach 1 Tá pointe A (2, 3) leathnaithe le fachtóir scála 2 agus tá lár an leathnaithe ag O (0, 0). Faigh comhordanáidí phointe A tar éis an leathnaithe. Plé: Is iad comhordanáidí phointe A ná (2, 3), is é k = 2 an fachtóir scála, agus is é pointe O (0, 0) lár an leathnaithe. De réir na foirmle leathnaithe: [A' = (kx, ky) = (2 ⋅2, 2 ⋅3) = (4, 6)] Mar sin, is iad comhordanáidí phointe A tar éis leathnaithe ná (4, 6). Ceist Shamplach 2 Tá pointe B (-1, 4) leathnaithe le fachtóir scála de 0,5 agus tá lár an leathnaithe ag O (0, 0). Faigh comhordanáidí phointe B tar éis leathnaithe. Réiteach: Is iad comhordanáidí phointe B ná (-1, 4), an fachtóir scála k = 0,5, agus is é pointe O (0, 0) lár an leathnaithe. De réir na foirmle leathnaithe: [B' = (kx, ky) = (0,5 ⋅-1, 0,5 ⋅4) = (-0,5, 2)] Mar sin, is iad comhordanáidí phointe B tar éis leathnú ná (-0,5, 2). Ceist Shamplach 3 Tá pointe C (3, -2) leathnú le fachtóir scála de -1 agus tá lár an leathnú ag O (0, 0). Faigh amach comhordanáidí phointe C tar éis leathnú. Réiteach: Is iad comhordanáidí phointe C ná (3, -2), an fachtóir scála k = -1, agus tá lár an leathnú ag pointe O (0, 0). De réir na foirmle leathnúcháin: [C' = (kx, ky) = (-1 ⋅ 3, -1 ⋅ -2) = (-3, 2)] Mar sin, is iad comhordanáidí phointe C tar éis leathnú ná (-3, 2). Ceist Shamplach 4 Tá pointe D (2, 5) leathnú le fachtóir scála de 3 agus tá lár an leathnú ag P (1, 1). Faigh amach comhordanáidí phointe D tar éis leathnú. Plé: Is iad comhordanáidí phointe D ná (2, 5), an fachtóir scála k = 3, agus is é pointe P (1, 1) lár an leathnaithe. Ar dtús, aistrímid pointe D go córas comhordanáidí lár an leathnaithe P (1, 1): Is iad comhordanáidí coibhneasta D go P: [D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4)] Déan leathnú le fachtóir scála k ag pointe D_r: [D_r' = (kx, ky) = (3 1, 3 4) = (3, 12)] Ar deireadh, cuirimid pointe D_r' ar ais sa chóras comhordanáidí tosaigh: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] Mar sin, is iad comhordanáidí phointe D tar éis leathnú ná (4, 13). Ceist Shamplach 5 Tá pointe E (-2, -3) leathnaithe le fachtóir scála de 0,25 agus tá lár an leathnú ag P (-1, -1). Faigh comhordanáidí phointe E tar éis leathnú. Réiteach: Is iad comhordanáidí phointe E ná (-2, -3), an fachtóir scála k = 0,25, agus is é pointe P (-1, -1) lár an leathnú. Ar dtús, aistrímid pointe E go dtí an córas comhordanáidí lárionad leathnaithe P (-1, -1): Is iad comhordanáidí coibhneasta E go P: \[ E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] Déanaimid leathnú le fachtóir scála k ar phointe E_r: \[ E_r' = (kx, ky) = (0,25 ⋅ -1, 0,25 ⋅ -2) = (-0,25, -0,5) \] Ar deireadh, filleann muid pointe E_r' ar an gcóras comhordanáidí bunaidh: \[ E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] Mar sin, is iad comhordanáidí phointe E tar éis leathnú (-1,25, -1,5). Conclúid: Is claochlú geoiméadrach é an dilatation a mhéadaíonn nó a laghdaíonn figiúr geoiméadrach faoi fhachtóir scála ar leith. Tá tuiscint ar choincheap agus ar chur i bhfeidhm an dilatation an-úsáideach i réimsí éagsúla staidéir, go háirithe sa gheoiméadracht. Le samplaí agus plé, tá súil go gcuideoidh sé seo le mic léinn agus le léitheoirí coincheap an dilatation a thuiscint agus a chur i bhfeidhm níos fearr i gcásanna matamaiticiúla éagsúla.