Ceisteanna Samplacha ag Plé Sraitheanna Geoiméadracha Gan Teorainn
Is sraith í sraith gheoiméadrach gan teorainn ina bhfuil líon gan teorainn téarmaí i ndul chun cinn geoiméadrach. Tá ceanglais shonracha ag baint leis na sraitheanna seo le go mbeidh a suim (nó a dteorainn) inríomhtha. San alt seo, pléifimid bunchoincheap na sraitheanna geoiméadracha gan teorainn, na ceanglais chun iad a thógáil, agus roinnt fadhbanna samplacha agus a réitigh.
Coincheapa Bunúsacha na Sraitheanna Geoiméadracha Gan Teorainn
Go bunúsach, is sraith uimhreacha í sraith gheoiméadrach ina bhfaightear gach téarma i ndiaidh an chéad cheann tríd an téarma roimhe sin a iolrú faoi tairiseach ar a dtugtar an cóimheas coiteann (r). Abair go bhfuil sraith gheoiméadrach againn:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
I gcás sraith gheoiméadrach gan teorainn, breithnímid suim na dtéarmaí uile sa tsraith. Sainmhínítear suim na sraithe seo mar:
\[S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...]
Tagann suim sraith gheoiméadrach gan teorainn le chéile (tá luach cinnte aici) má tá luach an chóimheasa _( |r| < 1 _) agus amháin má tá sé sin amhlaidh. Má tá _( |r| \geq 1 _), ansin scarann an tsraith agus níl suim chinnte aici (téann sí go dtí an éigríoch). Má tá _( |r| < 1 _), is féidir suim S sraith gheoiméadrach gan teorainn a shainmhíniú mar: _[ S = \frac{a}{1-r} _] áit a bhfuil: - ( S _) suim na sraithe, - ( a _) an chéad téarma, - ( r _) an cóimheas coiteann. Ceisteanna Samplacha agus Plé Ceist Shamplach 1 Ceist: Aimsigh suim na sraithe geoiméadraí gan teorainn don tsraith seo a leanas: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Plé: Aithnímis eilimintí tábhachtacha na sraithe: An chéad téarma \( a = 3 \) Is féidir an cóimheas \( r \) a fháil tríd an dara téarma a roinnt ar an gcéad téarma, is é sin: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Ós rud é go bhfuil \( |r| = 0.5 < 1 \), comhtháthaíonn an tsraith seo agus is féidir linn suim na sraithe gan teorainn a ríomh. Úsáid an fhoirmle do shuim sraith gheoiméadrach gan teorainn: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Mar sin, is é 6 suim na sraithe gheoiméadraí gan teorainn. Ceist Shamplach 2 Ceist: Aimsigh suim sraith gheoiméadrach gan teorainn leis an gcéad téarma 8 agus an cóimheas \( r = -\frac{1}{3} \). Réiteach: Céad téarma \( a = 8 \) Cóimheas \( r = -\frac{1}{3} \) Ós rud é go bhfuil \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), comhtháthaíonn an tsraith seo agus is féidir linn suim na sraithe gan teorainn a ríomh. Úsáid an fhoirmle do shuim sraith gheoiméadrach gan teorainn: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Mar sin, is é 6 suim na sraithe gheoiméadraí gan teorainn. Ceist Shamplach 3 Ceist: An bhfuil suim gan teorainn ag an tsraith seo a leanas? Más ea, faigh an tsuim. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Plé: An chéad téarma \( a = 5 \) Is féidir an cóimheas \( r \) a fháil tríd an dara téarma a roinnt ar an gcéad téarma, is é sin: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Ós rud é go bhfuil \( |r| = 0.5 < 1 \), comhtháthaíonn an tsraith seo agus is féidir linn suim na sraithe gan teorainn a ríomh. Úsáid an fhoirmle do shuim sraith gheoiméadrach gan teorainn: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Mar sin, is é 10 suim na sraithe gheoiméadraí gan teorainn. Ceist Shamplach 4 Ceist: Faigh amach an bhfuil an tsraith seo a leanas comhtháite nó dibhéirseach: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + ... \] Réiteach: An chéad téarma \( a = 4 \) Is féidir an cóimheas \( r \) a fháil tríd an dara téarma a roinnt ar an gcéad téarma, eadhon: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Ós rud é go bhfuil \( |r| = 1.5 > 1 \), tá an tsraith seo dibhéirseach agus níl suim chinnte aici.
Mar sin, tá an tsraith éagsúil.
Ceist Shamplach 5
Ceist: Abair go bhfuil an tsraith gan teorainn seo a leanas agat:
[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ...]
Aimsigh suim na sraithe.
Plé:
An chéad téarma (a = 1/2)
Is féidir an cóimheas r a fháil tríd an dara téarma a roinnt ar an gcéad téarma, is é sin:
[r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
Ós rud é go bhfuil \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), comhtháthaíonn an tsraith seo agus is féidir linn suim na sraithe gan teorainn a ríomh. Úsáid an fhoirmle do shuim sraith gheoiméadrach gan teorainn: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] Mar sin, is é 1 suim na sraithe gheoiméadrach gan teorainn. Conclúid Is coincheap matamaiticiúil tábhachtach í sraith gheoiméadrach gan teorainn a bhfuil feidhmeanna leathana aici i réimsí éagsúla. Chun suim sraith gheoiméadrach gan teorainn a chinneadh, ní mór dúinn a chinntiú go bhfuil an cóimheas \( |r| < 1 \). Dá bhrí sin, is féidir suim na sraithe a ríomh ag baint úsáide as foirmle shimplí agus dhíreach. Ó na fadhbanna samplacha thuas, is féidir linn a fheiceáil go ndéanann an teicníc seo an-éasca fadhbanna a bhaineann le sraitheanna geoiméadracha gan teorainn a réiteach.
