Ceisteanna Samplacha ag Plé Sraitheanna Geoiméadracha Gan Teorainn
Is sraith í sraith gheoiméadrach gan teorainn ina bhfuil líon gan teorainn téarmaí i ndul chun cinn geoiméadrach. Tá ceanglais shonracha ag baint leis na sraitheanna seo le go mbeidh a suim (nó a dteorainn) inríomhtha. San alt seo, pléifimid bunchoincheap na sraitheanna geoiméadracha gan teorainn, na ceanglais chun iad a thógáil, agus roinnt fadhbanna samplacha agus a réitigh.
Coincheapa Bunúsacha na Sraitheanna Geoiméadracha Gan Teorainn
Go bunúsach, is sraith uimhreacha í sraith gheoiméadrach ina bhfaightear gach téarma i ndiaidh an chéad cheann tríd an téarma roimhe sin a iolrú faoi tairiseach ar a dtugtar an cóimheas coiteann (r). Abair go bhfuil sraith gheoiméadrach againn:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \ldots \]
I gcás sraith gheoiméadrach gan teorainn, breithnímid suim na dtéarmaí uile sa tsraith. Sainmhínítear suim na sraithe seo mar:
\[S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...]
Jumlah dari deret geometri tak hingga konvergen (memiliki nilai tertentu) jika dan hanya jika nilai dari rasio \( |r| < 1 \). Jika \( |r| \geq 1 \), maka deret tersebut divergen dan tidak memiliki jumlah tertentu (mengarah ke tak terhingga). Bila \( |r| < 1 \), jumlah S dari deret geometri tak hingga dapat didefinisikan sebagai: \[ S = \frac{a}{1-r} \] di mana: - \( S \) adalah jumlah deret, - \( a \) adalah suku pertama, - \( r \) adalah rasio. Contoh Soal dan Pembahasan Contoh Soal 1 Soal: Tentukan jumlah deret geometri tak hingga untuk deret berikut: \[ 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + \ldots \] Pembahasan: Mari kita identifikasi elemen-elemen penting dari deret tersebut: Suku pertama \( a = 3 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{1.5}{3} = 0.5 \] Karena \( |r| = 0.5 < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{3}{1-0.5} \] \[ S = \frac{3}{0.5} \] \[ S = 6 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 6. Contoh Soal 2 Soal: Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga dengan suku pertama 8 dan rasio \( r = -\frac{1}{3} \). Pembahasan: Suku pertama \( a = 8 \) Rasio \( r = -\frac{1}{3} \) Karena \( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{8}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} \] \[ S = \frac{8}{1 + \frac{1}{3}} \] \[ S = \frac{8}{\frac{4}{3}} \] \[ S = 8 \times \frac{3}{4} \] \[ S = 6 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 6. Contoh Soal 3 Soal: Apakah deret berikut memiliki jumlah tak hingga? Jika iya, temukan jumlahnya. \[ 5 + 2.5 + 1.25 + 0.625 + \ldots \] Pembahasan: Suku pertama \( a = 5 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{2.5}{5} = 0.5 \] Karena \( |r| = 0.5 < 1 \), deret ini konvergen dan kita dapat menghitung jumlah deret tak hingga. Gunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{5}{1-0.5} \] \[ S = \frac{5}{0.5} \] \[ S = 10 \] Jadi, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 10. Contoh Soal 4 Soal: Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen: \[ 4 - 6 + 9 - 13.5 + \ldots \] Pembahasan: Suku pertama \( a = 4 \) Rasio \( r \) dapat ditemukan dengan membagi suku kedua dengan suku pertama, yaitu: \[ r = \frac{-6}{4} = -1.5 \] Karena \( |r| = 1.5 > 1 \), deret ini divergen dan tidak memiliki jumlah tertentu.
Mar sin, tá an tsraith éagsúil.
Ceist Shamplach 5
Ceist: Abair go bhfuil an tsraith gan teorainn seo a leanas agat:
[ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + ...]
Aimsigh suim na sraithe.
Plé:
An chéad téarma (a = 1/2)
Is féidir an cóimheas r a fháil tríd an dara téarma a roinnt ar an gcéad téarma, is é sin:
[r = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \]
Ós rud é go bhfuil \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), comhtháthaíonn an tsraith seo agus is féidir linn suim na sraithe gan teorainn a ríomh. Úsáid an fhoirmle do shuim sraith gheoiméadrach gan teorainn: \[ S = \frac{a}{1-r} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \] \[ S = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \] \[ S = 1 \] Mar sin, is é 1 suim na sraithe gheoiméadrach gan teorainn. Conclúid Is coincheap matamaiticiúil tábhachtach í sraith gheoiméadrach gan teorainn a bhfuil feidhmeanna leathana aici i réimsí éagsúla. Chun suim sraith gheoiméadrach gan teorainn a chinneadh, ní mór dúinn a chinntiú go bhfuil an cóimheas \( |r| < 1 \). Dá bhrí sin, is féidir suim na sraithe a ríomh ag baint úsáide as foirmle shimplí agus dhíreach. Ó na fadhbanna samplacha thuas, is féidir linn a fheiceáil go ndéanann an teicníc seo an-éasca fadhbanna a bhaineann le sraitheanna geoiméadracha gan teorainn a réiteach.
