Ceisteanna Samplacha ag Plé Seichimh agus Sraitheanna
Is coincheapa bunúsacha sa mhatamaitic iad seichimh agus sraitheanna, a bhíonn le fáil go minic ó bhunscoil go dtí an coláiste. Is bailiúchán uimhreacha é seicheamh atá eagraithe de réir riail shonrach, agus is é sraith suim théarmaí an tseicheamh sin. San alt seo, pléifimid roinnt fadhbanna samplacha agus pléifimid seichimh agus sraitheanna.
Sampla 1: Seicheamh Uimhríochta
Ceist:
Agus seicheamh uimhríochta tugtha leis an gcéad téarma (a) = 3 agus an difríocht (d) = 5. Faigh amach:
1. An 10ú téarma den seicheamh.
2. Suim na chéad 20 téarma den seicheamh.
Plé:
1. 10ú téarma
Is é seo an fhoirmle don n-ú téarma de sheicheamh uimhríochta:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
Don 10ú téarma (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) ≥ 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Suim na gCéad 20 dTéarma
Is é seo an fhoirmle do shuim na chéad n téarma (S_n) de sheicheamh uimhríochta:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
I gcás suim an chéad 20 téarma (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
Sampla 2: Sraith Gheoiméadrach
Ceist:
Agus seicheamh geoiméadrach tugtha leis an gcéad téarma (a) = 4 agus an cóimheas (r) = 2. Faigh amach:
1. An 6ú téarma den seicheamh.
2. Suim na chéad 8 téarma den seicheamh.
Plé:
1. 6ú téarma
Is é seo an fhoirmle don n-ú téarma de sheicheamh geoiméadrach:
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]
Don 6ú téarma (U_6):
\[
U_{6} = 4 ⋅2^{(6-1)} = 4 ⋅2^5 = 4 ⋅32 = 128
\]
2. Suim na gCéad 8 dTéarma
Is é seo an fhoirmle do shuim na chéad n téarma (S_n) de sheicheamh geoiméadrach:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
I gcás suim an chéad 8 téarma (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
Sampla 3: Sraith Gheoiméadrach Chomhtháite Gan Teorainn
Ceist:
I gcás sraith gheoiméadrach leis an gcéad téarma (a) = 1 agus an cóimheas (r) = 1/2, faigh suim na sraithe gan teorainn.
Plé:
Is é seo an fhoirmle do shuim sraith gan teorainn (S_∞) de shraith gheoiméadrach chomhtháite:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Mar sin don tsraith seo:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
Sampla 4: Seichimh agus Sraitheanna Uimhreacha Cearnógacha
Ceist:
I gcás seicheamh uimhreacha cearnacha leis an gcéad téarma (U_1) = 1, an dara téarma (U_2) = 4, agus an tríú téarma (U_3) = 9, faigh amach an 5ú téarma den seicheamh. An seicheamh uimhríochtúil nó geoiméadrach é an seicheamh seo? Mínigh.
Plé:
1. 5ú téarma
Is é seo patrún seicheamh uimhreacha cearnacha:
\[
U_n = n^2
\]
Don 5ú téarma (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Cineál Líne
Chun a sheiceáil an seicheamh uimhríochtúil nó geoiméadrach atá sa seicheamh seo, seiceáil an difríocht idir na téarmaí (an difríocht choiteann) agus an cóimheas idir na téarmaí:
– Difríocht idir téarmaí (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Ós rud é nach bhfuil an difríocht tairiseach, ní uimhríochtúil an seicheamh seo.
– Cóimheas idir-threibheanna (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Ós rud é nach bhfuil an cóimheas idir téarmaí tairiseach, ní seicheamh geoiméadrach é seo.
Mar sin, ní seicheamh uimhríochtúil ná geoiméadrach an seicheamh seo d'uimhreacha cearnacha, ach seicheamh speisialta a leanann patrún na n-uimhreacha cearnacha.
Sampla 5: Sraith Uimhríochta Gan Teorainn
Ceist:
An féidir suim sraith uimhríochta gan teorainn a ríomh? Más féidir, tabhair sampla. Mura féidir, mínigh cén fáth.
Plé:
Murab ionann agus sraitheanna geoiméadracha, ní bhíonn suim chríochta ag sraitheanna uimhríochta gan teorainn de ghnáth. Tá sé seo amhlaidh toisc go méadaíonn nó go laghdaíonn gach téarma go líneach, agus mar sin leanann an tsuim ag fás go deo.
Mar shampla, smaoinigh ar shraith uimhríochta gan teorainn leis an gcéad téarma 1 agus an difríocht choiteann 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Má dhéanaimid iarracht iad a shuimiú, is léir nach dtiocfaidh an tsraith i dtreo luach seasta, ach go dtiocfaidh sí i dtreo éigríoch. Dá bhrí sin, is é suim sraith uimhríochta éigríoch, i gcoitinne, ná éigríoch agus ní féidir í a ríomh mar shraith gheoiméadrach chomhtháite.
-
San alt seo, phléamar roinnt fadhbanna samplacha agus phléamar seichimh agus sraitheanna. Rinneamar athbhreithniú ar sheichimh uimhríochta agus geoiméadracha, chonaiceamar conas an n-ú téarma agus suim a gcéad théarmaí a ríomh, agus fhreagair muid ceisteanna faoi shraitheanna gan teorainn. Trí thuiscint a fháil ar na coincheapa agus na samplaí bunúsacha seo, tá súil againn go mbraithfidh tú níos muiníní agus tú ag dul i ngleic le seichimh agus sraitheanna sa mhatamaitic.
