Sampla de cheist phlé ar chur i bhfeidhm díorthach
Is coincheap bunúsach den chalcalas é an díorthach a bhfuil go leor feidhmeanna aige sa saol laethúil agus i réimsí eile den eolaíocht, amhail fisic, eacnamaíocht, bitheolaíocht agus innealtóireacht. San alt seo, pléifimid roinnt fadhbanna samplacha agus pléifimid feidhmeanna díorthach, go háirithe i gcomhthéacs an optamaithe agus anailíse feidhme.
Réamhrá ar Fheidhmchláir Dhíorthaithe
Go bunúsach, soláthraíonn díorthach feidhme faisnéis faoi ráta athraithe na feidhme sin i leith a hathróg neamhspleách. Is é an sampla is simplí ná luas, arb é díorthach suímh i leith ama é. Ar bhealach níos leithne, is féidir díorthaigh a úsáid chun uasluachanna agus íosluachanna feidhme a aimsiú, eatraimh a chinneadh thar a bhfuil feidhm ag méadú nó ag laghdú, agus faisnéis a sholáthar faoi airíonna agus iompar grafach feidhme.
Ceist Shamplach 1: Ag Aimsiú na Luachanna Uasta agus Íosta
Ceist:
Faigh amach uasphointí agus íosphointí na feidhme \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \).
Plé:
1. An chéad díorthach a aimsiú:
Chun na pointí criticiúla a aimsiú, ní mór dúinn an chéad díorthach den fheidhm a aimsiú agus é a chothromú le nialas.
\[
f'(x) = 3x^2 – 6x
\]
\[
3x^2 – 6x = 0
\]
2. Réitigh an chothromóid:
Déanaimid an chothromóid a fhachtóiriú:
\[
3x(x – 2) = 0
\]
Dá bhrí sin, faighimid pointí criticiúla ag \(x = 0 \) agus \(x = 2 \).
3. Déan anailís ar an dara díorthach:
Chun a chinneadh an uasphointí nó íosphointí iad na pointí criticiúla, ní mór dúinn an dara dífreamail den fheidhm a aimsiú:
\[
f”(x) = 6x – 6
\]
Meastóireacht ag pointí criticiúla:
\[
f”(0) = 6(0) – 6 = -6 \, (\text{diúltach, mar sin is uasmhéid áitiúil é x = 0 \text{\)
\]
\[
f”(2) = 6(2) – 6 = 6 \, (\text{dearfach, mar sin is íosmhéid áitiúil é x = 2 \text{\)
\]
4. Ríomh na luachanna uasta agus íosta:
Cuir na pointí criticiúla isteach sa fheidhm bhunaidh:
\[
f(0) = 0^3 – 3 ⋅ 0^2 + 4 = 4 ⋅ (uasmhéid)
\]
\[
f(2) = 2^3 – 3 ⋅ 2^2 + 4 = 8 – 12 + 4 = 0 ⋅ (íosmhéid)
\]
Mar sin, tá uasmhéid áitiúil ag an bhfeidhm \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \) ag \( (0, 4) \) agus íosmhéid áitiúil ag \( (2, 0) \).
Ceist Shamplach 2: Uasmhéadú le Srianta
Ceist:
Tá feirmeoir ag iarraidh imfhálú dronuilleogach a thógáil ar imeall abhann. Agus 100 méadar de fhál san áireamh, faigh amach toisí an imfhálú chun a achar a uasmhéadú.
Plé:
1. Déan cothromóid:
Abair go bhfuil fad an imfhálaithe comhthreomhar leis an abhainn \(x \) méadar agus go bhfuil an leithead \(y \) méadar. Ós rud é go bhfuil taobh amháin ag teorainn leis an abhainn, tá an fál atá ag teastáil do thrí thaobh.
\[
2y + x = 100
\]
2. Faigh an t-achar uasta:
Is é achar an chliabháin \(A \) ná:
\[
A = x ⋅ y
\]
Ó chothromóid an chlaí, is féidir linn y a chur in iúl i dtéarmaí x:
\[
y = \frac{100 – x}{2}
\]
Mar sin, seo a leanas an chothromóid don achar:
\[
A(x) = x ≥ 100 – x/2 = 50x – x/2
\]
3. An chéad díorthach a aimsiú:
Chun an luach uasta a fháil, faighimid an chéad díorthach de \( A(x) \):
\[
A'(x) = 50 – x
\]
Ag cothromú go náid:
\[
50 – x = 0 \implises x = 50
\]
4. Ríomh luach \(y \):
Cuir \(x = 50 \) isteach sa chothromóid:
\[
y = \frac{100 – 50}{2} = 25
\]
Mar sin, is iad toisí an chliabháin a sholáthraíonn an limistéar uasta ná 50 méadar ar fhad agus 25 méadar ar leithead.
Ceist Shamplach 3: Uasluas a Chinneadh
Ceist:
Bogann cáithnín feadh líne dhírí agus a shuíomh léirithe mar fheidhm ama (s(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 1). Faigh amach uasluas an cháithnín.
Plé:
1. Faigh amach an luas (díorthach suímh):
Is é luas cáithnín an chéad díorthach den suíomh i leith ama:
\[
v(t) = \frac{ds}{dt} = 3t^2 – 12t + 9
\]
2. Faigh amach an dara díorthach:
Chun na huasphointí a fháil, faighimid an dara díorthach:
\[
a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t – 12
\]
3. An pointe criticiúil a aimsiú:
Ag cothromú an chéad díorthach den luas le nialas:
\[
3t^2 – 12t + 9 = 0
\]
Roinn faoi 3:
\[
t^2 – 4t + 3 = 0
\]
Fachtóiriú:
\[
(t – 3)(t – 1) = 0
\]
Mar sin, is iad na pointí criticiúla ná _(t = 1) agus _(t = 3)_.
4. Déan anailís ar an luasghéarú chun an t-uasmhéid a fháil:
\[
a(1) = 6(1) – 12 = -6 \implises t = 1 \text{\ is uasmhéid áitiúil é}
\]
\[
a(3) = 6(3) – 12 = 6 \implises t = 3 \text{\ is íosmhéid áitiúil é}
\]
5. Ag ríomh an uasluas:
Cuir \(t = 1 \) isteach sa chothromóid luais:
\[
v(1) = 3(1)^2 – 12(1) + 9 = 3 – 12 + 9 = 0 \, (\text{níl sé suimiúil})
\]
Seiceáil teorainneacha nó pointí eatraimh ábhartha eile chun an réiteach is fearr a chinntiú.
Leis na céimeanna seo, is féidir linn patrún réitigh bunaithe ar dhíorthaigh a thógáil do na fadhbanna feidhmchláir éagsúla thuas.
Conclúid
Léiríonn na samplaí thuas conas is féidir díorthaigh a úsáid chun fadhbanna a réiteach i réimse comhthéacsanna. Níl i gceist le huasluachanna agus íosluachanna a aimsiú, uasmhéadú srianta, agus anailís ghluaisne ach cúpla feidhmchlár de choincheap na ndíorthach. Tá sé riachtanach dóibh siúd atá ag déanamh staidéir ar mhatamaitic ardleibhéil agus disciplíní gaolmhara máistreacht a fháil ar na teicnící agus na modhanna seo.
