Traachheidsmomint foar dieltsjes - problemen en oplossingen

1. Twa ballen ferbûn troch in stêf, lykas te sjen is yn 'e ûndersteande ôfbylding. Negearje de massa fan 'e stêf . Massa fan bal P is 600 gram en massa fan bal Q is 400 gram. Wat is it traachheidsmomint fan it systeem om AB?

Bekend:

De rotaasje-as is AB. Traachheidsmomint foar dieltsjes - problemen en oplossingen 1

m _p = 600 gram = 0.6 kg, m _q = 400 gram = 0.4 kg

rp ₌ 20 sm = 0.2 m, _rq = 50 sm = 0.5 m

Winsk: It traachheidsmomint fan it systeem

Oplossing:

Ik = m _p r _p² + m _q r _q²

Ik = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

Ik = 0.024 kg m² ⁺ 0.1 kg ^m²

Ik = 0.124 kg ^m²

2. De stêf fan AB mei in massa fan 2 kg wurdt draaid om punt A, it traachheidsmomint fan 'e stêf is 8 kg m² ^. As er om punt O draaid wurdt (AO = OB), wat is dan it traachheidsmomint fan 'e stêf?

Bekend: Traachheidsmomint foar dieltsjes - problemen en oplossingen 2

Massa fan stêf AB (m) = 2 kg

As it om punt A draaid wurdt sadat de rotaasjeradius (r) = lingte fan AB = r, dan is it traachheidsmomint (I) = 8 kg/ ^m²

Winsk: As rotearre om punt O sadat de rotaasjeradius (r) = lingte fan AO = lingte fan OB = 1/2 r, wat is dan it traachheidsmomint fan 'e stêf.

Oplossing:

Ik = Meneer ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² = 8 ^m²^/ 2

r² = ⁴^m²

r = 2 meter

As draaid om punt O sadat ½ r = 1 meter, dan is it traachheidsmomint:

Ik = mr² ⁼ (2 kg)(1 m²) ^² = (2 kg)(1 m² ⁾ = 2 kg ^m²

3. Twa ballen ferbûn troch in stêf lykas werjûn yn de ôfbylding hjirûnder. Negearje de massa fan 'e stêf. Wat is it traachheidsmomint fan it systeem.

Bekend:

Massa fan bal A (m_A) = 200 gram = 0.2 kg Traachheidsmomint foar dieltsjes - problemen en oplossingen 3

Massa fan bal B (mB ₎ = 400 gram = 0.4 kg

Ofstân tusken bal A en de rotaasjeas (r _A ) = 0

Ofstân tusken bal B en de rotaasjeas (rB ₎ = 25 sm = 0.25 m

Winsk: Traachheidsmomint fan it systeem

Oplossing:

It traachheidsmomint fan bal A:

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(0) ² = 0

It traachheidsmomint fan bal B:

IB ₌ (mB ₎ (rB2 ₎ = (0.4)(0.25) ²⁼ (0.4)(0.0625) = 0.025 kg ^m2

It traachheidsmomint fan it systeem:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m ² = 25 x 10 ^-3 kg m ²

4. Fjouwer dieltsjes mei ferskillende massa's, werjûn yn de ûndersteande figuer. Bepale it traachheidsmomint fan it systeem om de horizontale line P.

Oplossing

De rotaasje-as is de horizontale line P.

Bekend: Traachheidsmomint foar dieltsjes - problemen en oplossingen 4

Massa fan dieltsje A (m _A ) = m

Massa fan dieltsje B (mB ₎ = 2m

Massa fan dieltsje C (m _C ) = 3m

Trochgong fan dieltsjes D (m _D ) = 4m

Ofstân tusken dieltsje A en de rotaasje-as (r _A ) = b

Ofstân tusken dieltsje B en de rotaasje-as (rB ₎ = b

Ofstân tusken dieltsje C en de rotaasjeas (r _C ) = 2b

Ofstân tusken dieltsje D en de rotaasjeas (rD ₎ = 2b

Winske: It traachheidsmomint fan it systeem om de horizontale line P

Oplossing:

I = m _A r _A² + m _B r _B² + m _C r _C² + m _D r _D²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

Ik = 31 ^mb²

5. Fjouwer dieltsjes ferbûn troch in stêf. Negearje de massa fan 'e stêf. Bepale it traachheidsmomint om de rotaasjeas troch dieltsjes m1 _en m2 _, lykas werjûn yn 'e ûndersteande ôfbylding.

Bekend

Massa fan dieltsje 1 (m₁) = 1/4 kg Traachheidsmomint foar dieltsjes - problemen en oplossingen 5

Massa fan dieltsje 2 (m2 ₎ = 1/2 kg

Massa fan dieltsje 3 (m3 ₎ = 1/4 kg

Massa fan dieltsje 4 (m4 ₎ = 1/4 kg

Ofstân tusken dieltsje 1 en de rotaasjeas (r² ₎ = 0

Ofstân tusken dieltsje 2 en de rotaasjeas (r² ₎ = 0

Ofstân tusken dieltsje 3 en de rotaasjeas (r3 ₎ = 10 sm = 10/100 m = 1/10 m

Ofstân tusken dieltsje 4 en de rotaasjeas (r4 ₎ = 10 sm = 10/100 m = 1/10 m

Winsk: It traachheidsmomint

Oplossing:

Ik = m ₁ r ₁² + m ₂ r ₂² + m ₃ r ₃² + m ₄ r ₄²

Ik = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

Ik = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

Ik = 1/400 + 1/400

Ik = 2/400

Ik = 1/200 ^kg.m²

Wat is it traachheidsmomint foar in dieltsje?
- antwurdFoar in inkele dieltsje fan massa $m$ op ôfstân $r$ fan in rotaasje-as, syn traachheidsmomint $I$ wurdt jûn $I = m \times r^{2}$ .
Wêrom wurdt it traachheidsmomint faak oantsjutten as it "rotaasje-analogon" fan massa?
- antwurdKrekt sa't massa in mjitte is fan 'e wjerstân fan in objekt tsjin feroarings yn syn translaasjebeweging (fanwegen de twadde wet fan Newton), is it traachheidsmomint in mjitte fan 'e wjerstân fan in objekt tsjin feroarings yn syn rotaasjebeweging.
Hoe beynfloedet it feroarjen fan 'e ôfstân fan in dieltsje fan syn rotaasjeas syn traachheidsmomint?
- antwurdIt traachheidsmomint is evenredich mei it kwadraat fan 'e ôfstân fan 'e rotaasjeas. As jo de ôfstân ferdûbelje, sil it traachheidsmomint mei in faktor fjouwer tanimme.
Wêrom is it kwadraat fan 'e ôfstân (r²) brûkt yn 'e formule foar it traachheidsmomint ynstee fan allinich de ôfstân?
- antwurdIt kwadraat fan 'e ôfstân wurdt brûkt fanwegen de manier wêrop kinetyske enerzjy yn rotaasje wurket. Yn rotaasjebeweging draacht elk dieltsje fan in objekt by oan 'e rotaasjekinetyske enerzjy op basis fan sawol syn massa as syn ôfstân fan 'e as yn it kwadraat.
Hoe feroaret it traachheidsmomint fan in dieltsje as syn massa ferdrievoudige wurdt, wylst de ôfstân fan 'e as konstant bliuwt?
- antwurdAs de massa ferdrievoudige wurdt en de ôfstân konstant hâlden wurdt, sil it traachheidsmomint ek ferdrievoudige, om't it direkt evenredich is mei de massa.
Kin in dieltsje in traachheidsmomint fan nul hawwe? As dat sa is, ûnder hokker betingst?
- antwurdJa, in dieltsje sil in traachheidsmomint fan nul hawwe as it direkt op 'e rotaasjeas leit, wêrtroch't syn ôfstân $r$ fan 'e as gelyk oan nul.
Wêrom hawwe ferskillende objekten mei deselde massa en grutte ferskillende traachheidsmominten as se om ferskillende assen draaie?
- antwurdDe ferdieling fan massa om de rotaasjeas bepaalt it traachheidsmomint. Sels as twa objekten deselde massa en grutte hawwe, kinne har massaferdielingen relatyf oan de rotaasjeas ferskille, wat liedt ta ferskillende traachheidsmominten.
Is it traachheidsmomint in skalêre of in fektorgrutte?
- antwurdTraachheidsmomint is in skalêre kwantiteit. Foar stive lichems mei komplekse foarmen en meardere rotaasjeassen wurdt it lykwols fertsjintwurdige troch in tensor.
As twa dieltsjes, elk fan massa $m$ , lizze op ôfstannen $r_{1}$ en $r_{2}$ fan 'e rotaasje-as ôf, wat is it kombineare traachheidsmomint?
- antwurdIt traachheidsmomint is addityf foar aparte dieltsjes. Sa is it kombineare traachheidsmomint $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Hoe ferhâldt it traachheidsmomint him ta it behâld fan hoekmomentum?
- antwurdHoekmomentum $L$ is it produkt fan traachheidsmomint $I$ en hoeksnelheid $ω$ , fertsjintwurdige troch de fergeliking $L = I \times ω$ As der gjin eksterne koppels op in systeem ynwurkje, sil it hoekmomentum konstant bliuwe. Dit betsjut dat as it traachheidsmomint feroaret (lykas by in keunstridder dy't syn earms ynlûkt), de hoeksnelheid oanpast wurde moat om it produkt konstant te hâlden.